Wel, je had al gevonden dat h'(x) = 0 voor x = -1/2 of voor x = -1/2. Teken nu een horizontale getallenlijn en geef daarop de punten x = -1/2 en x = 1/2 aan. Zet daar nullen boven en zet + en - tekens boven de lijn daar waar de eerste afgeleide positief resp. negatief is, en een asterisk bij x = 0 waar de afgeleide niet gedefinieerd is. Dan krijg je dus zoiets:quote:
1 2 3 | ++++++++++++++++++++0------------*------------0++++++++++++++++++++ ____________________|____________|____________|____________________ -1/2 0 1/2 |
Ja, maar begrijp je ook waarom h(x) voor x = x0 een locaal maximum bereikt als h'(x0) = 0 en h''(x0) < 0 ?quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 16:52 schreef RealMadrid10 het volgende:
Maar feitelijk hoef ik slechts te bepalen of de stationaire punten een lokaal minimum of een lokaal maximum zijn.
En wanneer ik de stationaire punten als X invul in de 2e afgeleide, en deze uitkomst lager of groter is dan 0 kan ik toch met zekerheid zeggen of dit een lokaal minimum of maximum is?
Ja, want als een converse functie een minimum heeft is dat een globaal minimum en als een concave functie een maximum heeft is dat een globaal maximum.quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 16:57 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, maar begrijp je ook waarom h(x) voor x = x0 een locaal maximum bereikt als h'(x0) = 0 en h''(x0) < 0 ?
Je bedoelt hier ongetwijfeld convexe.quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 17:05 schreef RealMadrid10 het volgende:
[..]
Ja, want als een converse functie een minimum heeft is dat een globaal minimum en als een concave functie een maximum heeft is dat een globaal maximum.
Ja, maar ik heb het idee dat je hier gewoon oplepelt wat er in je boek staat zonder dat je het echt begrijpt. Hierboven zei je nog dat je niet begreep hoe WolframAlpha de locale minima en maxima van je functie berekende.quote:Als F' = 0 is er sprake van een lokaal maximum als F´´ kleiner is als 0 en een lokaal minimum als F´´ groter is als 0.
Klopt!quote:
Klopt maar dit is toch een van die dingen die je uit je hoofd moet leren en altijd kunt toepassen?quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 17:08 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je bedoelt hier ongetwijfeld convexe.
[..]
Ja, maar ik heb het idee dat je hier gewoon oplepelt wat er in je boek staat zonder dat je het echt begrijpt. Hierboven zei je nog dat je niet begreep hoe WolframAlpha de locale minima en maxima van je functie berekende.
Als je hebt gevonden voor welke waarde(n) van x je functie h(x) een minimum of een maximum bereikt, dan kun je de waarde van dat minimum resp. maximum toch gewoon berekenen door de gevonden waarde(n) van x in te vullen in het functievoorschrift van je functie h(x) ? Wat begrijp je hier niet aan? De verticale positie van een punt op de grafiek voor elke x = x0 is immers de functiewaarde h(x0).quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 17:09 schreef RealMadrid10 het volgende:
[..]
Klopt!
Wat is echter nog steeds niet begrijp is hoe ik met behulp van de 2e afgeleide zou moeten kunnen berekenen dat het locale maximum en locale minimum -4 respectievelijk 4 is.
Nee, je moet bij wiskunde nooit kritiekloos dingen uit het hoofd leren. Je moet begrijpen waarom iets is zoals het is. Dat is iets heel anders. Dus nu de hamvraag: kun je uitleggen waarom dit zo is?quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 17:11 schreef RealMadrid10 het volgende:
[..]
Klopt maar dit is toch een van die dingen die je uit je hoofd moet leren en altijd kunt toepassen?
Keiner dan 0 lokaal max.
Groter dan 0 lokaal min.
Ja.quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 17:22 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, je moet bij wiskunde nooit kritiekloos dingen uit het hoofd leren. Je moet begrijpen waarom iets is zoals het is. Dat is iets heel anders. Dus nu de hamvraag: kun je uitleggen waarom dit zo is?
Dat klopt nog, maar preciezer is het om te spreken van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve in elk punt van de grafiek van de functie.quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 17:34 schreef RealMadrid10 het volgende:
[..]
Ja.
De eerste afgeleide bepaalt de richtingscoëfficiënt.
Dat is op zijn minst erg onduidelijk uitgedrukt, en ik zou een dergelijk antwoord bij een examen niet goed rekenen.quote:De tweede afgeleide bepaalt of de grafiek toenemend daalt/stijgt of afnemend daalt/stijgt.
Deze redenering rammelt. Als je eerst de waarden van x hebt bepaald waarvoor de eerste afgeleide gelijk is aan nul, dan is het een dooddoener om te zeggen dat de eerste afgeleide voor die waarden van x niet negatief kan zijn. En je bewering de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen is onjuist. Tenslotte moet je niet zeggen dat de grafiek van een functie horizontaal loopt in het punt x = 0 als de afgeleide (ergens) nul is want dat hoeft helemaal niet zo te zijn. Je bedoelt hier kennelijk dat de grafiek van een functie horizontaal loopt in een punt x = x0 als de eerste afgeleide van die functie nul is voor x = x0.quote:Wanneer je op zoek gaat naar het locale minimum of maximum stel je eerste de eerste afgeleide op 0.
Invullen in de tweede afgeleide met een uitkomst kleiner dan 0 houdt in dat de grafiek moet stijgen omdat de eerste afgeleide nooit negatief kan zijn.
En dat de eerste afgeleide 0 is wil zeggen dat deze in punt X=0 horizontaal loopt.
Je weet toch wat de x-coördinaat van het stationaire punt (x=x0) is?quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 20:47 schreef RealMadrid10 het volgende:
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
Je hebt gevonden dat h''(x) = 2x-3 en kennelijk bereken je dan vervolgens h''(-1/2) = -16 en h''(1/2) = 16. Maar dat wordt niet gevraagd. Aangezien h'(-1/2) = h'(1/2) = 0 heb je voldoende aan de vaststellingen dat h''(-1/2) < 0 en h''(1/2) > 0 om te concluderen dat h(x) voor x = -1/2 een locaal maximum bereikt en voor x = 1/2 een locaal minimum. Maar om de waarde van dat locale maximum bij x = -1/2 resp. de waarde van dat locale minimum bij x = 1/2 te berekenen moet je dan uiteraard x = -1/2 resp. x = 1/2 substitueren in je functievoorschrift h(x) = 4x + 1/x. Dan vind je h(-1/2) = -4 en h(1/2) = 4.quote:Op zaterdag 6 oktober 2012 20:47 schreef RealMadrid10 het volgende:
Oke, ik leer graag van je. Maar ik begrijp nou nog steeds niet hoe ik zonder het schema wat jij uitgetekend hebt kunt berekenen dat het exacte lokale maximum en minimum -4/4 is.
Ik kom dus tot de 16 en -16 zoals ik eerder gepost heb. Hieruit kan ik dus vaststellen dat het om een lokaal maximum en minimum gaat (want groter of kleiner dan 0 op basis van 2e afgeleide). Hoe bereken ik nu vanuit die 16/-16 (of anders) dat het exacte punt -4/4 betreft?
Ik denk dat je derde argument juist je hoofdargument is.quote:Op zondag 7 oktober 2012 13:49 schreef RealMadrid10 het volgende:
De reden dat ik deze stof niet goed begrijp is omdat het door de leraar in recordtempo behandeld wordt en er nauwelijks oefenmateriaal voor handen is.
Daarnaast mist ik op dit gebied de ´basis´ om het direct goed te kunnen begrijpen. Ik moet dus veel bijspijkeren om het te kunnen bijbenen.
Vandaar de soms domme vragen.
Wel, de kettingregel in de notatie van Leibniz zegt:quote:Op zondag 7 oktober 2012 15:33 schreef Maryn. het volgende:
Ik wil graag het volgende differentieren [ afbeelding ]:
[ afbeelding ]
S valt weg.
Nu gebruik ik chainrule: u = -r(T-t).
Dus so far heb ik:
[ afbeelding ]
Maar hoe ga ik nu verder met u?
thanks
Ik bedoel hiermee dat je bijvoorbeeld u'(t) schrijft in plaats van u'. Zo zie je dat u (en dus ook de afgeleide als deze geen constante is) afhangt van de (onafhankelijke) variabele t.quote:Op zondag 7 oktober 2012 17:48 schreef Maryn. het volgende:
Thanks.. hoe kun je onafhankelijke variabele aangeven.. wat bedoel je?
Nee, dit is niet goed, je hebt du/dt = r.quote:Ok nu dus:
df/du = -r(T-t) = -rT + rt = r
Dit linkje werkt niet in FOK. Ik zal het even voordoen, maar dan wat uitgebreider dan je het gewoonlijk op zou schrijven. Zo uitgebreid hoef je het niet op te schrijven, maar het is goed om eens een keer te zien hoe het nu precies in elkaar zit. We hebben:quote:dus antwoord is dan
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'=%20-rke^{(T-t)}
Zijn mijn stappen zo goed?
Lagrange (1736-1813) was een Frans wiskundige die de bekende notatie met primes voor de afgeleiden heeft ingevoerd, dus f'(x) voor de eerste afgeleide functie van f(x) naar x, f''(x) voor de tweede afgeleide functie van f(x) naar x en zo voort. Dit wordt natuurlijk gauw onoverzichtelijk en daarom schrijft men meestal f(n)(x) voor de n-de afgeleide functie van f(x) naar x indien n > 3. De onafhankelijke variabele (hier x) wordt ook wel weggelaten en dan schrijf je dus f' en f'' voor resp. de eerste en de tweede afgeleide functie van een functie f. Maar dan kun je niet meer zien naar welke variabele er is gedifferentieerd. De notatie van Leibniz heeft dat bezwaar niet: aan dy/dx kun je meteen zien dat het gaat om de afgeleide naar x van een (afhankelijke) variabele y die afhangt van een (onafhankelijke) variabele x.quote:Ik moet zeggen dat ik niet bekend ben met Lagrange.. dus snap je misschien niet helemaal.
Die opgaven waren uit oude (school)boeken, dus dat is dan de eerste plaats waar je zou kunnen kijken. Ik heb pas ontdekt dat de UvA een deel van de collectie van het Nederlands Schoolmuseum online heeft gezet. Het gaat daarbij om een kleine 5000 titels uit voornamelijk de latere 19e eeuw. Er zitten uiteraard ook veel wiskunde titels bij, vooral (veel) vlakke meetkunde en algebra, maar ook goniometrie en analytische meetkunde en wat stereometrie (dat waren toen aparte schoolvakken). En voor de lagere school had je natuurlijk rekenkunde, veel rekenkunde (kom daar nu eens om). Differentiaal- en integraalrekening stond toen niet op het programma, dat kwam pas veel later (in de jaren '50 van de 20e eeuw).quote:Op maandag 8 oktober 2012 12:36 schreef Amoeba het volgende:
Riparius, weet jij nog zo'n mooi elementair puzzeltje waar we ons hoofd over kunnen breken? Denk aan die bol/driehoek/lijn door A(1, 1) snijpunten. Zoiets.
Vreemd... ik krijg geen exact antwoord.quote:Op maandag 8 oktober 2012 20:09 schreef Riparius het volgende:
[..]
In een gegeven vierkant is een ander zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van het laatste in de zijden van het eerste liggen. Als nu het oppervlak van 't ingescheven vierkant 2/3 is van het oppervlak van 't gegeven vierkant, vraagt men naar den hoek tusschen de zijden van het grootste en die van het kleinste vierkant (Eindexamen 1879).
Je zit toch niet stiekem een calculator of zo te gebruiken?quote:Op maandag 8 oktober 2012 20:29 schreef thenxero het volgende:
[..]
Vreemd... ik krijg geen exact antwoord.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |