[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 23 juni 2012 21:54 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik zou zeggen

∫ sin(x)∙(-cos(x))' dx = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙(sin(x))' dx

[..]

Ik zal nog even toelichten wat ik hier precies doe. Ik gaf slechts de eerste stap.

De regel voor partieel integreren luidt:

∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du

In dit geval hadden we u = sin(x), dv = sin(x)∙dx, en dus du = cos(x)∙dx, v = -cos(x). Dit geeft:

∫ sin(x)∙d(-cos(x)) = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙d(sin(x))

Nu volgt uit dv = sin(x)∙dx en v = -cos(x) dat d(-cos(x)) = sin(x)∙dx
Evenzo volgt uit du = cos(x)∙dx en u = sin(x) dat d(sin(x)) = cos(x)∙dx

Dus krijgen we:

∫ sin(x)∙sin(x)∙dx = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙cos(x)∙dx

En dus:

∫ sin²(x)∙dx = -sin(x)∙cos(x) + ∫ cos²(x)∙dx

Oh zo. Ik heb geleerd om die tussenstap over te slaan, omdat je dan met infinitesimalen werkt zonder bewijs.

Ik onthou die regel ook als ∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx .

[ Bericht 23% gewijzigd door thenxero op 23-06-2012 22:35:14 ]

quote:

Op zaterdag 23 juni 2012 21:58 schreef Amoeba het volgende:
Het lijkt me allereerst handig dat je ons exact vertelt wat de opgave is. Met deze informatie is het zoals Riparius al stelde slechts mogelijk om uit te rekenen wat zijn gemiddelde snelheid was, en op mijn manier of hij niet minimaal 40 km/h diende te sprinten, wat dus niet het geval was omdat hij in 9,79 seconden meer dan 100 meter aflegde.
Dus wat was de extra randvoorwaarde, hoe nam zijn snelheid toe? Was daar een formule voor?

De afgeleide geeft de helling van een functie op een bepaald moment f'(x) = dy/dx Met dy en dx (infinitesimaal?) kleine verschillen. De quotiëntregel is te onthouden met (nat min tan) ofwel Noemer* afgeleide Teller - Teller * afgeleide Noemer (gedeeld door het kwadraat van de noemer). De kettingregel voor een functie f(x)*g(x) -> f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x).

Om te weten waar de helling 0 is van een functie, ofwel het maximum/minimum van een grafiek stel je dus de afgeleide functie gelijk aan 0.

Om nu te weten waar de helling maximaal is geef je de tweede afgeleide, ofwel f''(x). Het nulpunt daarvan zal dus het buigpunt geven.

En nu die opgave.

Een klein voorbeeldje van de quotient regel:


Je ziet zelf ook wel in dat dit nog een maal te vereenvoudigen is..

Sorry voor de late reactie maar hier komt de opgave:

Omrekenen van eenheden
Het wereldrecord op de 100 m hardlopen is kort geleden gebracht op 9,79 s. Heeft de atleet op enig moment gedurende zijn race met een snelheid groter dan 40 km per uur gelopen?

En verder staat er niks meer.

quote:

Op zaterdag 23 juni 2012 22:27 schreef thenxero het volgende:
Oh zo. Ik heb geleerd om die tussenstap over te slaan, omdat je dan met infinitesimalen werkt zonder bewijs.

Ik onthou die regel ook als ∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx .

Uiteraard sla ik de tussenstap gewoonlijk ook over, maar omdat Amoeba deze tussenstap toch maakte wilde ik even laten zien hoe je dat dan correct op kunt schrijven. Uitgaande van de regel

∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du

en

u = sin(x), dv = sin(x)∙dx, du = cos(x)∙dx, v = -cos(x)

krijg je direct

∫ sin(x)∙sin(x)∙dx = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙cos(x)∙dx

en dat is ook gebruikelijke manier van werken met de regel voor partieel integreren in deze vorm, zie bijvoorbeeld hier.

Werken met differentialen is niet hetzelfde als werken met infinitesimalen, dus hier is niets inexacts aan, vooropgesteld dat je een formele definitie kunt geven voor (betrekkingen tussen) differentialen die niet steunt op het intuïtieve begrip van 'oneindig kleine' grootheden. Vroeger was dat uiteraard anders, de gehele Leibniz notatie is gebaseerd op de idee van inifinitesimale grootheden.

Toch is de notatie van Leibniz niet stuk te krijgen en heeft deze alle paradigmawisselingen binnen de wiskunde overleefd, en daar zijn goede redenen voor. Deze notatie vereenvoudigt het werken met afgeleiden van samengestelde functies (kettingregel), het werken met de substitutieregel in de integraalrekening (en inderdaad, ook het werken met partieel integreren) en bijvoorbeeld ook het oplossen van bepaalde differentiaalvergelijkingen (scheiding van variabelen).

De substitutieregel (voor onbepaalde integralen) kunnen we weergeven als

∫ f(x)∙dx = ∫ f(g(t))∙g'(t)∙dt

waarbij x = g(t) en dx = g'(t)∙dt zodat d(g(t)) = g'(t)∙dt en we de substitutieregel dus ook kunnen weergeven als

∫ f(x)∙dx = ∫ f(g(t))∙d(g(t))

Als nu F een primitieve is van f dan is dus

∫ f(g(t))∙d(g(t)) = F(g(t)) + C

Hiervan maakte ik gebruik bij enkele herleidingen voor het primitiveren van de secans.

Hebben we f(x) = 1, zodat F(x) = x een primitieve is, dan reduceert dit tot:

∫ d(g(t)) = g(t) + C

zodat je, afgezien van de integratieconstante, kunt zeggen dat ∫ en d inverse operatoren zijn.

Als we hebben y = f(x) waarbij f een differentieerbare functie is van x, dan kunnen we zeggen dat dy/dx = f'(x), en als we het hierbij laten dan zijn dit gewoon twee verschillende notaties voor hetzelfde, namelijk de notatie van Leibniz en de notatie van Lagrange voor de (eerste) afgeleide van de gegeven functie. De uitdrukking dy/dx lijkt verdacht veel op een breuk en om de verwarring nog groter te maken heet dit ook nog een differentiaalquotiënt, terwijl het in de thans gebruikelijke opvatting geen quotiënt is maar een limiet van een differentiequotiënt ∆y/∆x = (f(x + ∆x) - f(x))/∆x voor ∆x → 0.

Maar zo hebben dy en dx afzonderlijk geen betekenis (meer), zodat je nog moet verantwoorden wat je dan precies verstaat onder dy = f'(x)∙dx en hoe dit equivalent is met dy/dx = f'(x) zonder daarbij terug te vallen op intuïtieve begrippen als 'oneindig kleine' grootheden. Er zijn verschillende manieren om het begrip differentiaal te formaliseren maar die zijn niet zo geschikt voor een elementaire behandeling. Je zou echter kunnen afspreken dat je met dy = f'(x)∙dx bedoelt dat de grootheid x (en daarmee ook y) afhangt van een andere variabele, zeg t, zodanig dat dy/dt = f'(x) ∙ dx/dt. Dan is dus y'(t) = f'(x)∙x'(t) oftewel y'(t) = f'(x(t))∙x'(t) en dat is niets anders dan de kettingregel voor y(t) = f(x(t)). Dit is altijd mogelijk, want we kunnen eenvoudig x(t) = t nemen. Betrekkingen tussen differentialen van grootheden kun je zo dus zien als betrekkingen tussen de afgeleiden van die grootheden waarbij de onafhankelijke variabele impliciet is.

We kunnen nu bijvoorbeeld schrijven d(u∙v) = du∙v + u∙dv waarbij u en v functies zijn van een impliciete variabele (i.e. als we deze impliciete variabele t noemen: d(u∙v)/dt = du/dt ∙ v + u ∙ dv/dt) en dit geeft dan ∫ d(u∙v) = ∫ du∙v + ∫ u∙dv en dus ∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du aangezien ∫ d(u∙v) = u∙v, waarbij we de integratieconstante achterwege laten omdat deze al in ∫ v∙du zit.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-06-2012 19:44:32 ]

Deze nog iemand tips?

Hoe laat ik zien dat:



gelijk is aan



Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.

Als het beide uitdrukkingen zijn voor hetzelfde aantal, heb je daarmee bewezen dat ze gelijk aan elkaar zijn.

quote:

Op zondag 24 juni 2012 19:14 schreef Riparius het volgende:

[..]
-knip-

Ik had alleen die notatie nooit gezien, voor de rest ben ik volledig op de hoogte. Dat bewijs dat infinitesimalen bestaan is wel leuk, heb dat een keer gezien. Als het er was geweest had ik ook een vak nonstandaard analyse gedaan .

quote:

Op zondag 24 juni 2012 19:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Maar zo hebben dy en dx afzonderlijk geen betekenis (meer), zodat je nog moet verantwoorden wat je dan precies verstaat onder dy = f'(x)∙dx en hoe dit equivalent is met dy/dx = f'(x) zonder daarbij terug te vallen op intuïtieve begrippen als 'oneindig kleine' grootheden. Er zijn verschillende manieren om het begrip differentiaal te formaliseren maar die zijn niet zo geschikt voor een elementaire behandeling. Je zou echter kunnen afspreken dat je met dy = f'(x)∙dx bedoelt dat de grootheid x (en daarmee ook y) afhangt van een andere variabele, zeg t, zodanig dat dy/dt = f'(x) ∙ dx/dt. Dan is dus y'(t) = f'(x)∙x'(t) oftewel y'(t) = f'(x(t))∙x'(t) en dat is niets anders dan de kettingregel voor y(t) = f(x(t)). Dit is altijd mogelijk, want we kunnen eenvoudig x(t) = t nemen. Betrekkingen tussen differentialen van grootheden kun je zo dus zien als betrekkingen tussen de afgeleiden van die grootheden waarbij de onafhankelijke variabele impliciet is.

Als je de afgeleide van Fréchet gebruikt, hebben dy en dx wel gewoon een betekenis, net als dy/dx.

quote:

Op zondag 24 juni 2012 19:47 schreef Oneironaut het volgende:
Deze nog iemand tips?

Hoe laat ik zien dat:



gelijk is aan



Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.

Het lijkt me toch dat je hier het een en ander wel kunt vereenvoudigen. Schrijf die binomiaalcoëfficiënten maar eens uit in faculteiten. In beide uitdrukkingen zie je dan al een (k-t)!/(v-t)! verschijnen, en in die onderste uitdrukking valt er in elke term een (t-i)! tegen elkaar weg.

quote:

Op zondag 24 juni 2012 19:47 schreef Oneironaut het volgende:
Deze nog iemand tips?

Hoe laat ik zien dat:



gelijk is aan



Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.

quote:

Op zondag 24 juni 2012 20:52 schreef thabit het volgende:

[..]

Het lijkt me toch dat je hier het een en ander wel kunt vereenvoudigen. Schrijf die binomiaalcoëfficiënten maar eens uit in faculteiten. In beide uitdrukkingen zie je dan al een (k-t)!/(v-t)! verschijnen, en in die onderste uitdrukking valt er in elke term een (t-i)! tegen elkaar weg.

Het moest overigens zijn (macht i niet j):


Dit is



Dus blijft over:

Oh en

Maar die som.... welke regel kan ik daar voor gebruiken?
Iets van: http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html ?

[ Bericht 0% gewijzigd door Oneironaut op 24-06-2012 23:32:01 ]

Ik zou laten staan, en kun je schrijven als . De factor (v-k)! heb je ook in die eerste formule. Op die manier krijg je al een heel wat eenvoudigere identiteit die je moet bewijzen.

Als het goed is krijg je dus iets met de sommatie erin. Ga even na of dit klopt. Dit soort sommen zijn namelijk vrij algemeen uit te werken, als je het truukje weet.

Nog maar een vraagje, want ik loop hier vast.



Hoe kom je op die 17,55% (onderste zin)? Want dat staat er niet bij.

Misschien met je GR, of met een normale benadering?

quote:

Op maandag 25 juni 2012 14:53 schreef thenxero het volgende:
Misschien met je GR, of met een normale benadering?

GR niet, dat laatste dan denk ik.

Met de normale benadering krijg ik 17.2%. Lijkt mij prima maar ik weet niet wat ze van je verwachten. Omdat exact te doen lijkt me vrij vervelend.

quote:

Op maandag 25 juni 2012 15:32 schreef thenxero het volgende:
Met de normale benadering krijg ik 17.2%. Lijkt mij prima maar ik weet niet wat ze van je verwachten. Omdat exact te doen lijkt me vrij vervelend.

Kan zijn dat ze dan het gemiddelde hebben genomen van de normale benadering voor X = 11 en X = 10. Exact hoeft volgens mij niet.

Het is echt een exact resultaat, lijkt me dus GR-werk of pc-werk.

quote:

Op maandag 25 juni 2012 15:52 schreef GlowMouse het volgende:
Het is echt een exact resultaat, lijkt me dus GR-werk of pc-werk.

Oh dan heeft de docent het met de GR gedaan denk ik. Maar dat mogen wij niet.

Simpel vraagje denk ik:

Wat heeft de waarde constant voor een betekenis in een logistic regression?



[ Bericht 17% gewijzigd door Soldier2000 op 25-06-2012 17:19:13 ]