[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 01:20 schreef Amoeba het volgende:
Je hebt gelijk. De formule werd inderdaad opgesteld aan de hand van de oplossing van x = -2. De kwadratische functie gaf toen als oplossingen:

x = 1 + √2
x = 1 - √2

Maar Cardano kon mooi thuisblijven, toch?
Riparius kwam namelijk aanzetten met de oplossing x = -2, aangezien dat vrij eenvoudig te zien was.

Dat is waar ja, ik had alleen iets meer van die methode verwacht. Ik had ergens gelezen dat het een alternatief was voor Cardano's formule in het geval van de casus irreducibilis. Maar ik zie niet zo goed in wat men in de 16e eeuw had aan een antwoord als
Dus vandaar . Overigens dacht ik eerst dat die casus irreducibilis helemaal niet op te lossen was, maar dat kan dus alleen met imaginaire getallen als ik het goed begrijp.

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 01:38 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Dat is waar ja, ik had alleen iets meer van die methode verwacht. Ik had ergens gelezen dat het een alternatief was voor Cardano's formule in het geval van de casus irreducibilis.

Als de gereduceerde kubische vergelijking (met reële coëfficiënten) drie (verschillende) reële oplossingen heeft, dan zijn deze algebraïsch alleen uit te drukken in de coëfficiënten met derdemachtswortels uit complexe getallen, die je in het algemeen niet kunt herleiden. Een beroemd voorbeeld (besproken in de 16e eeuw door Bombelli) is de vergelijking

x³ = 15x + 4,

waar de 'formule van Cardano' als oplossing geeft

x = ³√(2 + √-121) + ³√(2 - √-121),

terwijl gemakkelijk is te zien dat x = 4 een oplossing is (want 4³ = 64 = 60 + 4). Bombelli redeneerde nu (naar analogie van geneste vierkantswortels) dat als ³√(2 + √-121) = a + √-b (met a,b > 0) dat dan ³√(2 - √-121) wel a - √-b zou zijn. En aangezien je dan hebt:

x = (a + √-b) + (a - √-b) = 2a,

terwijl x = 4, begrijpen we dat dan a = 2 moet zijn. Nu moet verder (2 + √-b)³ = (8 - 6b) + (12 - b)√-b gelijk zijn aan 2 + √-121, en dus is het niet moeilijk te zien dat b = 1 moet zijn, want je zou ook √-121 = √121∙√-1 = 11∙√-1 moeten hebben. Zo vond Bombelli dat

³√(2 + 11√-1) = 2 + √-1 en ³√(2 - 11√-1) = 2 - √-1

en dus

³√(2 + 11√-1) + ³√(2 - 11√-1) = 4

Bombelli concludeerde nu dat de formule van Cardano dus kennelijk toch klopte zelfs als deze formule wortels uit negatieve getallen gaf terwijl de oplossing toch gewoon een positief getal was (in negatieve oplossingen was men destijds nog niet echt geïnteresseerd). Hij wist wel niet wat hij hier verder mee moest, maar hij had een belangrijke ontdekking gedaan, hij had ontdekt dat je toch kon rekenen met die 'onmogelijke' wortels uit negatieve getallen.

Maar in de praktijk schoot je hier niet veel mee op, want hier konden we a en b bepalen omdat we al wisten dat de oplossing x = 4 was en dus a = 2 moest zijn. Maar als je de oplossing(en) niet weet, en je gaat dan proberen algebraïsch a en b te bepalen, dan kom je uit op (jawel) een kubische vergelijking die equivalent is met je oorspronkelijke vergelijking, en dus ben je dan weer terug bij af. Daarom ging men dit casus irreducibilis noemen. Pas enkele decennia later vond Viète (die studie had gemaakt van de formules voor de sinus en cosinus van een veelvoud van een hoek) de goniometrische oplossingsmethode voor het geval de gereduceerde kubische vergelijking uitsluitend reële wortels heeft.

quote:

Maar ik zie niet zo goed in wat men in de 16e eeuw had aan een antwoord als
Dus vandaar .

Heel eenvoudig: men maakte gebruik van goniometrische tafels om zo benaderde oplossingen te verkrijgen. Als je cos 3φ had uitgerekend, dan kon je in een goniometrische tafel opzoeken welke hoek 3φ daarbij hoorde (uitgedrukt in graden, minuten en seconden), en door die hoek door drie te delen en dan in de tafels weer terug te zoeken wat cos φ, cos(φ + 120°) en cos(φ + 240°) waren had je (na vermenigvuldiging met r) de drie wortels.

quote:

Overigens dacht ik eerst dat die casus irreducibilis helemaal niet op te lossen was, maar dat kan dus alleen met imaginaire getallen als ik het goed begrijp.

Er zijn inderdaad geen algebraïsche uitdrukkingen voor de wortels van z³ + pz + q = 0 in termen van de coëfficiënten zonder complexe getallen voor p,q ∈R indien (p/3)³ + (q/2)² < 0 terwijl de wortels zelf dan toch allemaal reëel zijn. Een eeuw na Viète maakte Abraham de Moivre uitvoerig studie van deze kwestie en ontdekte hij het verband tussen het trekken van n-de machtswortels uit complexe getallen en het delen van een hoek in n gelijke delen. In een wat andere vorm kennen we dit resultaat nu als de formule van De Moivre

(cos φ + i∙sin φ)ⁿ = cos nφ + i∙sin nφ,

maar De Moivre zelf heeft 'zijn' formule nooit zo opgeschreven, in deze 'moderne' vorm is de formule voor het eerst afgeleid en gepubliceerd door Euler.

In de 17e en zelfs de gehele 18e eeuw had men nog niet de bekende meetkundige voorstelling van complexe getallen en dus realiseerde men zich ook niet dat vermenigvuldiging met een complex getal met modulus 1 meetkundig overeenkomt met een rotatie, wat het resultaat van De Moivre direct inzichtelijk maakt. Pas rond het einde van de 18e eeuw kwamen Caspar Wessel en enkele jaren later Jean-Robert Argand onafhankelijk van elkaar met de bekende meetkundige voorstelling van een complex getal a + bi als een punt met coördinaten (a;b) in een plat vlak met een cartesisch assenstelsel en de bijbehorende meetkundige interpretaties van onder meer optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen. Opvallend is dat geen van beiden professionele wiskundigen waren: Wessel was een tamelijk onbekende Deense landmeter en Argand een nog veel onbekendere Parijse boekverkoper. Er werd nauwelijks nota genomen van hun publicaties: het artikel van Wessel (in het Deens) werd snel vergeten en pas een eeuw later herontdekt, en het in eigen beheer uitgegeven boekje van Argand baarde ook nauwelijks opzien, maar raakte in ieder geval in Frankrijk niet in vergetelheid, zodat men ook nu nog wel van een Argand diagram spreekt. Weer enkele decennia later publiceerde Gauß in kort bestek nog eens hetzelfde idee. Maar nu nam de wiskundige wereld er wel nota van en werd het idee gemeengoed en raakten complexe getallen (overigens een benaming van Gauß) eindelijk volkomen geaccepteerd. In het Duitse taalgebied spreekt men daarom nog wel van gaußsche Zahlenebene, maar eigenlijk zou Wessel diagram terechter zijn. Maar ja, dat is natuurlijk Stigler's law.

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 00:37 schreef kutkloon7 het volgende:

Riparius, ik moet bekennen dat ik de goniometrische methode van Viète om derdemachtsvergelijkingen op te lossen nog niet helemaal snap.

De vergelijking x³-5x=2 kan ik oplossen als ik probeer en dan een staartdeling doe door (x+2) (maar dit is natuurlijk lang niet altijd te gebruiken), met de goniometrische substitutie krijg ik wel:

Wat volgens Wolfram Alpha wel een geldige oplossing is (want gelijk aan x=1+√2), maar ik zou niet weten hoe je dit moet uitwerken. Je zei zelf al dacht ik dat het een goede oefening zou zijn om dit te herleiden, maar ik zou eerlijk gezegd niet weten waar ik moet beginnen.

Tja, dat is een echte breinbreker:

2∙√(5/3)∙cos((1/3)∙arccos((3/5)∙√(3/5))) = 1 + √2

Je zou gebruik kunnen maken van:

arccos x = -i∙ln(x + i∙√(1 - x²))

waarbij je dan met x op [-1,1] voor de complexe logaritme de hoofdwaarde met argument op [0,π] moet nemen, en dan uiteraard ook gebruik maken van

cos x = (e^ix + e^-ix)/2,

maar dat is misschien niet wat je zoekt. Ik zie echter zo gauw niet hoe je dit zonder complexe getallen kunt herleiden. Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe (Jacques Hadamard).

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 07:58 schreef Amoeba het volgende:
En je schrijft ook heel die geschiedenis uit je hoofd op?

Ja. Ik ben geïnteresseerd in de geschiedenis van de wiskunde, en daarom lees ik er ook veel over en bestudeer ik originele bronnen. Alleen een citaat of een jaartal kijk ik soms wel even na, maar dat gaat uiteraard gemakkelijk als je toch al achter een computer zit.

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 15:27 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik zat vandaag te kijken om dat boek Beknopte Hoogere Algebra van Frederik Schuh op de kop te tikken, jaartal 1926, zoals je ongetwijfeld weet. Weet jij misschien waar?

Ik heb even voor je gezocht en ik zie momenteel hier een exemplaar staan.

Maar online is uiteraard ook (gratis) van alles te vinden als je in een bepaald onderwerp geïnteresseerd bent. Een aardig boekje over goniometrie met een historische inslag is bijvoorbeeld Trigonometric Delights van Eli Maor. Krijg je een hoop dingen te zien die ze je op school nooit verteld hebben maar misschien wel hadden moeten vertellen. Natuurlijk ook met hoofdstukken over François Viète en Abraham de Moivre.

quote:

Misschien een slechte ontwikkeling, maar ik 'verwaarloos' m'n andere schoolvakken ten behoeve van de wiskunde.

Veel grote wiskundigen zijn zo begonnen ...

Er zijn veel meer pareltjes te vinden op het internet waar geen copyright meer op zit. Engelstalige boeken van rond 1900 zijn zeer gemakkelijk te lezen.

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 19:38 schreef Amoeba het volgende:
In het verleden behaalde prestaties bieden geen garantie voor de toekomst. Ik baal er nu al van dat ik volgend jaar nog niet op de TU/e kan beginnen aan Technische Wiskunde.

Muhahah, * Unsub begint in september met TW

Ach, je hebt ook helemaal geen universiteit nodig om wiskunde te leren. Gewoon alles zelf afleiden

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 17:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik heb even voor je gezocht en ik zie momenteel hier een exemplaar staan.

Maar online is uiteraard ook (gratis) van alles te vinden als je in een bepaald onderwerp geïnteresseerd bent. Een aardig boekje over goniometrie met een historische inslag is bijvoorbeeld [b]Trigonometric Delights[/b] van Eli Maor. Krijg je een hoop dingen te zien die ze je op school nooit verteld hebben maar misschien wel hadden moeten vertellen. Natuurlijk ook met hoofdstukken over François Viète en Abraham de Moivre.

Nu aan het lezen, leuk boekje

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 22:23 schreef Amoeba het volgende:
Dat boekje even op m'n telefoon pleuren, leest fijn in de trein enzulks. Tevens heb ik als eerste titel dus F. Schuh, Beknopte Hoogere Algebra aangeschaft. Nog meer aanraders?

Tja wat zoek je precies?

quote:

In het verleden behaalde prestaties bieden geen garantie voor de toekomst. Ik baal er nu al van dat ik volgend jaar nog niet op de TU/e kan beginnen aan Technische Wiskunde.

Niets houdt je tegen om alvast te beginnen met wiskunde. Je kan via torrents mooie verzamelingen wiskundeboeken downloaden. De wiskundigen en wiskundestudenten willen vast wel wat adviezen geven met welke vakgebieden en boeken te beginnen. Ik zou beginnen met calculus (inclusief vectorcalculus), dat is sowieso zeer nuttig.

Ik had in VWO 6 eigenlijk alle calculus al gedaan via Youtube en dingen bij elkaar zoeken op internet. Khan Acedemy op Youtube heeft wel wat goede filmpjes over eerstejaars calculus, differentiaalvergelijkingen, lineaire algebra (alhoewel hij naar mijn smaak af en toe wat traag was). Ik weet niet echt een goed calculus boek, wij werkten met een dictaat. Gewoon gratis te bekijken, niks mis mee (alleen het stuk over differentiaalvergelijkingen ben ik niet echt enthousiast over). Er staan ook zat oefeningen bij.

Vector calculus is trouwens niet zó belangrijk, behalve als je gaat kijken naar technische/natuurkundige toepassingen... dan kom je het wel weer vaak tegen. Maar ik zou maar eens met dat dictaat beginnen.

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 22:43 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Wiskunde boeit me mateloos. Ik was vandaag aan het lezen over het vermoeden van Dejean. (Een casus van Wiskunde B) Inmiddels is dit vermoeden wel bewezen.

Zoiets als Trigonometric Delights. Kan het me niet veroorloven in een week een boekenkast proberen te vullen.

Diezelfde Eli Maor heeft nog meer lezenswaardige boeken geschreven, een beetje in dezelfde stijl:

e: the story of a number
The Pythagorean theorem: A 4,000-year history
To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite

Ook de volgende boeken van John Stillwell kan ik aanbevelen:

Mathematics and its History (3rd edition)
The Four Pillars of Geometry
Yearning For the Impossible - The Surprising Truths of Mathematics

Verder nog (algemeen):

Victor Katz - A History of Mathematics. An Introduction (2nd edition)
Carl Boyer & Uta Merzbach - A History of Mathematics (2nd edition)
David Burton - The History of Mathematics: An introduction (7th edition)

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 23:51 schreef Amoeba het volgende:
Hartelijk dank! Ik ga eens kijken wat ik kan vinden. Heb je nog een leuke opgave waar ik me morgen over kan buigen?

Ik heb de komende dagen even geen gelegenheid om iets te bedenken of uit te zoeken, maar bekijk dit oude vraagstuk eens. Noot: de poster bedoelde een gelijkzijdige driehoek en een snelheid van twee eenheden per seconde. Niet meteen naar de oplossing(en) kijken, eerst zelf proberen natuurlijk.

quote:

Op donderdag 7 juni 2012 23:19 schreef thenxero het volgende:
Ik had in VWO 6 eigenlijk alle calculus al gedaan via Youtube en dingen bij elkaar zoeken op internet. Khan Acedemy op Youtube heeft wel wat goede filmpjes over eerstejaars calculus, differentiaalvergelijkingen, lineaire algebra (alhoewel hij naar mijn smaak af en toe wat traag was). Ik weet niet echt een goed calculus boek, wij werkten met een dictaat. Gewoon gratis te bekijken, niks mis mee (alleen het stuk over differentiaalvergelijkingen ben ik niet echt enthousiast over). Er staan ook zat oefeningen bij.

Vector calculus is trouwens niet zó belangrijk, behalve als je gaat kijken naar technische/natuurkundige toepassingen... dan kom je het wel weer vaak tegen. Maar ik zou maar eens met dat dictaat beginnen.

Dat dictaat heb ik inderdaad ook alles uit geleerd, bevalt prima. Hoewel boeken vaak meer diepgang hebben, maar dat is al snel too much als je alleen maar gewone calculus wil leren.


Ik heb trouwens nog een leuke theorie/bewijs'opgave', die iemand een tijd geleden op http://boards.4chan.org/sci/ had gepost (geen flauw idee wanneer precies). Ik weet niet precies meer hoe het toen geformuleerd was, maar de theorie was, dat je in elke (eindige ongerichte) graaf een verzameling V kan kiezen, zo dat voor elke knoop k de kardinaliteit van de intersectie tussen de verzameling met alle buren van v en v zelf erin oneven is.
Oftewel, voor elke (eindige ongerichte) graaf G bestaat een verzameling V, zodat elke knoop in V een even aantal buren in V heeft, en elke knoop die niet in V zit een oneven aantal buren in V heeft.
Je kan het ook uitleggen op een wat visuelere manier. Stel dat je een graaf hebt waarin in het begin alle knopen ongekleurd (of wit) zijn, en telkens een knoop kiest. Verander nu de kleur van elke knoop die verbonden is met deze knoop van gekleurd naar ongekleurd en andersom. Het is nu voor elke graaf mogelijk om met een volledig gekleurde graaf te eindigen. Een visueel voorbeeld:

De oranje knoop is die, die het laatst is gekozen (om in de verzameling V te komen). In dit voorbeeld bestaat V dus uit de bovenste drie knopen (die in het 'dakje' van het 'huisje'). Er kunnen soms meerdere mogelijkheden voor V zijn (bijvoorbeeld in het simpele geval van een graaf die bestaat uit twee verbonden knopen), de theorie zegt dat er ten minste één mogelijkheid is om zo'n verzameling V te kiezen.

Ik geloof dat ik er een bewijs voor heb (zonet even snel afgemaakt, dus het zou goed kunnen dat er een fout inzit), maar het was niet makkelijk. (hoewel het uiteindelijke bewijs wat ik nu heb wel meevalt, het is meer iets waar ik bij toeval op kwam). Ik dacht, misschien lijkt iemand het leuk om het te proberen te bewijzen (of een tegenvoorbeeld te geven, wat dus zou betekenen dat mijn bewijs niet klopt).

quote:

Op vrijdag 8 juni 2012 15:37 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Dat dictaat heb ik inderdaad ook alles uit geleerd, bevalt prima. Hoewel boeken vaak meer diepgang hebben, maar dat is al snel too much als je alleen maar gewone calculus wil leren.

Ik heb trouwens nog een leuke theorie/bewijs'opgave', die iemand een tijd geleden op http://boards.4chan.org/sci/ had gepost (geen flauw idee wanneer precies). Ik weet niet precies meer hoe het toen geformuleerd was, maar de theorie was, dat je in elke (eindige ongerichte) graaf een verzameling V kan kiezen, zo dat voor elke knoop k de kardinaliteit van de intersectie tussen de verzameling met alle buren van v en v zelf erin oneven is.
Oftewel, voor elke (eindige ongerichte) graaf G bestaat een verzameling V, zodat elke knoop in V een even aantal buren in V heeft, en elke knoop die niet in V zit een oneven aantal buren in V heeft.
Je kan het ook uitleggen op een wat visuelere manier. Stel dat je een graaf hebt waarin in het begin alle knopen ongekleurd (of wit) zijn, en telkens een knoop kiest. Verander nu de kleur van elke knoop die verbonden is met deze knoop van gekleurd naar ongekleurd en andersom. Het is nu voor elke graaf mogelijk om met een volledig gekleurde graaf te eindigen. Een visueel voorbeeld:
[ afbeelding ]
De oranje knoop is die, die het laatst is gekozen (om in de verzameling V te komen). In dit voorbeeld bestaat V dus uit de bovenste drie knopen (die in het 'dakje' van het 'huisje'). Er kunnen soms meerdere mogelijkheden voor V zijn (bijvoorbeeld in het simpele geval van een graaf die bestaat uit twee verbonden knopen), de theorie zegt dat er ten minste één mogelijkheid is om zo'n verzameling V te kiezen.

Ik geloof dat ik er een bewijs voor heb (zonet even snel afgemaakt, dus het zou goed kunnen dat er een fout inzit), maar het was niet makkelijk. (hoewel het uiteindelijke bewijs wat ik nu heb wel meevalt, het is meer iets waar ik bij toeval op kwam). Ik dacht, misschien lijkt iemand het leuk om het te proberen te bewijzen (of een tegenvoorbeeld te geven, wat dus zou betekenen dat mijn bewijs niet klopt).

Dat is inderdaad wel een leuke opgave. Ik vond 'm niet heel makkelijk.

Klinkt wel als een leuke opgave.... ik zal er eens naar gaan kijken.

Deze zin klopt niet helemaal trouwens:

quote:

maar de theorie was, dat je in elke (eindige ongerichte) graaf een verzameling V kan kiezen, zo dat voor elke knoop k de kardinaliteit van de intersectie tussen de verzameling met alle buren van v en v zelf erin oneven is.

Maar ik zal je herformulering gebruiken, die is wel duidelijk.

[ Bericht 75% gewijzigd door thenxero op 08-06-2012 17:52:03 ]