SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ik begrijp dit alles, maar was meer uit naar een effectieve manier om zonder rekenmachine te berekenen. Ik heb pythagoras gebruikt, logischerwijs, maar op een iets andere manier.
cos² [a] + sin² [a] = 1
Eenheidscirkel naar concept
x² + y² = 1
Levert getallen op die moeilijker zijn om mee te rekenen.
cos² [a] + sin² [a] = 1
Eenheidscirkel naar concept
x² + y² = 1
Levert getallen op die moeilijker zijn om mee te rekenen.
Basisboek Wiskunde, dus, in principe, ja.quote:Op maandag 4 juni 2012 17:20 schreef Quyxz_ het volgende:
Middelbare school denk ik?
[ afbeelding ]
Dat riedeltje moesten wij uit ons hoofd leren. Is makkelijk te onthouden en als je een globaal beeld hebt hoe een (co)sinus eruit ziet al helemaal.
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Voor ik het vergeet, dit was wat ik moest hebben, dus.quote:Op maandag 4 juni 2012 18:06 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je kunt dit eenvoudig meetkundig beredeneren. Teken een gelijkzijdige driehoek ABC, de hoeken van deze driehoek zijn dan elk 60 graden. Teken vanuit (bijvoorbeeld) hoekpunt C een hoogtelijn, het voetpunt D van deze hoogtelijn is dan het midden van zijde AB. Nu is driehoek ACD rechthoekig, en aangezien D het midden is van AB en dus AD = ½∙AB en ook AB = AC hebben we dus:
AD = ½∙AC
En volgens Pythagoras hebben we ook:
AC2 = AD2 + CD2
En dus:
CD2 = AC2 - AD2 = AC2 - (½∙AC)2 = AC2 - ¼∙AC2 = ¾∙AC2
En dus:
CD = √(¾)∙AC = ½√3∙AC
Nu is in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde, dus hebben we:
sin 60° = sin ∠DAC = CD : AC = ½√3∙AC : AC = ½√3
En aangezien supplementaire hoeken dezelfde sinus hebben, hebben we dus ook
sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60° = ½√3
Dank allen.
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Riparius, nu je er toch bent.
Ik had vandaag wiskunde, zoals een echte baas, en ik was wat mee aan het lezen bij de discussie over conflictlijnen (ellips).
Nu zei mijn wiskundedocent dat een ellips juist de conflictlijn (stelling / definitie doet er in deze vraag even niet toe) is van een cirkel binnen een grotere cirkel. Door middel van een cirkel met straal r1 + r2 te tekenen kreeg je dus een "somcirkel". Aan de hand van deze cirkel was het mogelijk om de ellips te construeren (en te bewijzen, aangezien de afstand van beide brandpunten N en M tot de ellips opgeteld een constante vormen, namelijk de straal van de "somcirkel").
Maar is dan de conflictlijn van een punt binnen een cirkel ook een ellips, en zoja, hoe construeer ik deze?
Ik had vandaag wiskunde, zoals een echte baas, en ik was wat mee aan het lezen bij de discussie over conflictlijnen (ellips).
Nu zei mijn wiskundedocent dat een ellips juist de conflictlijn (stelling / definitie doet er in deze vraag even niet toe) is van een cirkel binnen een grotere cirkel. Door middel van een cirkel met straal r1 + r2 te tekenen kreeg je dus een "somcirkel". Aan de hand van deze cirkel was het mogelijk om de ellips te construeren (en te bewijzen, aangezien de afstand van beide brandpunten N en M tot de ellips opgeteld een constante vormen, namelijk de straal van de "somcirkel").
Maar is dan de conflictlijn van een punt binnen een cirkel ook een ellips, en zoja, hoe construeer ik deze?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Hoe bedoel je moeilijker? Je hebt (½)2 + (½∙√3)2 = 1.quote:Op maandag 4 juni 2012 18:54 schreef Quir het volgende:
Ik begrijp dit alles, maar was meer uit naar een effectieve manier om zonder rekenmachine te berekenen. Ik heb pythagoras gebruikt, logischerwijs, maar op een iets andere manier.
cos² [a] + sin² [a] = 1
Eenheidscirkel naar concept
x² + y² = 1
Levert getallen op die moeilijker zijn om mee te rekenen.
Het wordt pas lastig als je bijvoorbeeld wil afleiden dat sin 18° = ¼(√5 - 1).
Logicaquote:
Natuurlijk, punt is een cirkel met straal 0 immers.
k*t
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Beiden zijn dan nog niet bekend, wat maaktquote:
[..]
Hoe bedoel je moeilijker? Je hebt (½)2 + (½∙√3)2 = 1.
Het wordt pas lastig als je bijvoorbeeld wil afleiden dat sin 18° = ¼(√5 - 1).
cos [a] = √( 1 - (4/9) * pi² )
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Dit wordt allemaal duidelijk als je het PDF bestand van Dick Klingens waarnaar ik hierboven verwijs bestudeert. Hij bespreekt ook de conflictlijn van twee cirkels.quote:
Riparius, nu je er toch bent.
Ik had vandaag wiskunde, zoals een echte baas, en ik was wat mee aan het lezen bij de discussie over conflictlijnen (ellips).
Nu zei mijn wiskundedocent dat een ellips juist de conflictlijn (stelling / definitie doet er in deze vraag even niet toe) is van een cirkel binnen een grotere cirkel. Door middel van een cirkel met straal r1 + r2 te tekenen kreeg je dus een "somcirkel". Aan de hand van deze cirkel was het mogelijk om de ellips te construeren (en te bewijzen, aangezien de afstand van beide brandpunten N en M tot de ellips opgeteld een constante vormen, namelijk de straal van de "somcirkel").
Maar is dan de conflictlijn van een punt binnen een cirkel ook een ellips, en zoja, hoe construeer ik deze?
Overigens, als je toe bent aan een nieuwe uitdaging, dan heb ik nog wel een (algebra)opgave voor je uit de oude doos. Eentje die goede H.B.S. B en Gymnasium β leerlingen uit de hogere klassen ruim een halve eeuw geleden nog konden oplossen.
Misschien moet je een niet-complex voorbeeld bedenken als je dan toch leuk wilt zijn..quote:Op maandag 4 juni 2012 19:12 schreef Quir het volgende:
[..]
Beiden zijn dan nog niet bekend, wat maakt
cos [a] = √( 1 - (4/9) * pi² )
quote:
[..]
Dit wordt allemaal duidelijk als je het PDF bestand van Dick Klingens waarnaar ik hierboven verwijs bestudeert. Hij bespreekt ook de conflictlijn van twee cirkels.
Overigens, als je toe bent aan een nieuwe uitdaging, dan heb ik nog wel een (algebra)opgave voor je uit de oude doos. Eentje die goede H.B.S. B en Gymnasium β leerlingen uit de hogere klassen ruim een halve eeuw geleden nog konden oplossen.
Kom maar op.
Ik was vandaag nog op zoek naar de oude vwo wiskunde B1,2 boeken (Boek 6 boeide me, daarin stonden de betreffende conflictlijnen beschreven.) Maar John zou hem morgen meenemen, als hij het niet vergeet. (John is mijn docent wiskunde B&D)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik denk dat je een beetje in de war bent ...quote:
[..]
Beiden zijn dan nog niet bekend, wat maakt
cos [a] = √( 1 - (4/9) * pi² )
Nog even over die conflictlijnen: die zijn geïntroduceerd door het Freudenthalinstituut. Op hun website kun je wel wat concept leerstofmodules inzien (link: 1 2). Ik ben er zelf niet enthousiast over, maar dat was denk ik al duidelijk.quote:
[..]
Kom maar op.
Dat klopt. Want dat geeft een negatief getal. Daar kom ik nog op terug.quote:
[..]
Ik denk dat je een beetje in de war bent ...
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Wat heb je dan liever? Dat mensen het kegelsneden gaan noemen en vervolgens nooit weten waar het voor dient?quote:
[..]
Nog even over die conflictlijnen: die zijn geïntroduceerd door het Freudenthalinstituut. Op hun website kun je wel wat concept leerstofmodules inzien (link: 1 2). Ik ben er zelf niet enthousiast over, maar dat was denk ik al duidelijk.
Het is dat ik de methode ken om eenvoudige identiteiten te vinden voor Sin(nx), anders zou het inderdaad een hell of a job zijn.quote:
[..]
Hoe bedoel je moeilijker? Je hebt (½)2 + (½∙√3)2 = 1.
Het wordt pas lastig als je bijvoorbeeld wil afleiden dat sin 18° = ¼(√5 - 1).
Goed. Bedenk dat er destijds nog geen elektronische rekenhulpmiddelen beschikbaar waren. Het is dus mogelijk - en ook de bedoeling - de volgende opgave uitsluitend met gebruikmaking van pen en papier op te lossen. Als je een oplossing post, laat dan ook zien hoe je aan je oplossing bent gekomen. Hier is de opgave:quote:
In een plat vlak met een cartesisch assenstelsel ligt een rechte lijn die door het punt (1;1) gaat. Deze lijn snijdt de positieve x-as en de positieve y-as. De onderlinge afstand van de snijpunten bedraagt 4 eenheden en het snijpunt met de x-as ligt dichter bij de oorsprong dan het snijpunt met de y-as. Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten van de lijn met de beide assen.
Het hele woord kegelsnede komt in de conceptmodules van het Freudenthalinstituut niet voor en dat is om te beginnen al een grote misser, zeker omdat ze Apollonius wél noemen. Als leerlingen dan een vervolgopleiding gaan doen en ze lezen in een engels boek de term conic sections, dat zou het dus zo maar kunnen dat ze niet eens begrijpen waar het over gaat. Overigens komt in de Nederlandse versie van Cabri waar de samenstellers nogal mee dwepen dan weer wel het woord kegelsneden voor.quote:
[..]
Wat heb je dan liever? Dat mensen het kegelsneden gaan noemen en vervolgens nooit weten waar het voor dient?
Tuurlijk mag je voor jezelf een tekening maken, is ook aanbevolen. Maar zoals gezegd, gevraagd wordt een exact antwoord.quote:
Begrepen!
Geen passer & geodriehoek/liniaal?
Gewoon een assenstelsel getekend, met een geodriehoek beetje uitgemeten. En nu de voorwaarden en vergelijkingen opstellen, en dan zien waar het schip strandt. Ik heb al een klein ideetje.quote:
[..]
Tuurlijk mag je voor jezelf een tekening maken, is ook aanbevolen. Maar zoals gezegd, gevraagd wordt een exact antwoord.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ach, ik kan 't niet meer terugvinden in m'n kladderschrift. Zal wel hebben lopen spiegelen.quote:Op maandag 4 juni 2012 19:24 schreef Quir het volgende:
[..]
Dat klopt. Want dat geeft een negatief getal. Daar kom ik nog op terug.
Heb er nu in ieder geval bovenstaande wijze in staan.
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Toch niet weer een derde/vierdegraadspolynoom die je mag oplossen?quote:
[..]
Goed. Bedenk dat er destijds nog geen elektronische rekenhulpmiddelen beschikbaar waren. Het is dus mogelijk - en ook de bedoeling - de volgende opgave uitsluitend met gebruikmaking van pen en papier op te lossen. Als je een oplossing post, laat dan ook zien hoe je aan je oplossing bent gekomen. Hier is de opgave:
In een plat vlak met een cartesisch assenstelsel ligt een rechte lijn die door het punt (1;1) gaat. Deze lijn snijdt de positieve x-as en de positieve y-as. De onderlinge afstand van de snijpunten bedraagt 4 eenheden en het snijpunt met de x-as ligt dichter bij de oorsprong dan het snijpunt met de y-as. Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten van de lijn met de beide assen.
Het komt neer op het snijpunt bepalen van een cirkel en een hyperbool. Altijd leuk ja..quote:
[..]
Toch niet weer een derde/vierdegraadspolynoom die je mag oplossen?
Ja, je moet het stelselquote:
[..]
Het komt neer op het snijpunt bepalen van een cirkel en een hyperbool. Altijd leuk ja..
a^2+b^2 = 16
a=b/(b-1)
oplossen. (en als ik dat omschrijf krijg ik een vierdegraadsvergelijking
)[ Bericht 12% gewijzigd door thenxero op 04-06-2012 20:27:09 ]
