Allocatie van beleggingen, zo risico robuust mogelijk.

Niet dat dit veel mensen zal interesseren, maar kan het altijd een poging geven. Gezien het feit dat distributie vergoedingen in een aantal jaar afgeschaft gaan worden, zal de 'asset management' wereld op z'n kop komen te staan. Het business model van dit soort zaken zal volledig over de kop gaan en specifiek naar de klant gericht moeten worden. Met andere woorden, verwacht dat er een flinke fee komt om je straks je private banker te ontmoeten.

Zaken zoals SNS asset management (en kleinere jongens) zie ik straks volledig kopje onder gaan. De grote asset managers, blackrock, vanguard etc. gaan zich nu meer focussen op de banken met enorme hoeveelheden klanten. Om die klant ook iets voor zijn geld terug te geven (hij zal straks een fee moeten betalen), gaat men meer naar risk robuuste portefeuille's kijken.

De private banks, ook in Nederland, draaien alleen vaak nog op verouderde modellen, zelfs soms nog het Mean-Variance model of extensies hierop. Daar bij komt dat de risico maatstaf vaak nog uitgedrukt is in Value at Risk, een verouderde risico maatstaf wat alleen de 1e en 2e moment van de return distributie meeneemt en de afgelopen jaren 'te lage' waarden voor risico heeft aangegeven. Iets wat ook bij de ECB werd aangegeven (Dat was onlangs nog in het nieuws, werd tijd!), dat ze eigenlijk wel van Value at Risk (kans op verlies) af willen, en bijvoorbeeld de Conditional Value at Risk (daadwerkelijk verlies) overwegen.

Banken geven bijv. ook de Sharpe ratio aan, een bizar verouderde maatstaf voor risico adjusted returns, het neemt immers alleen variantie mee als risico maatstaf, niet de 3e of 4e momenten. Waarom zou een 3e of 4e moment interessant zijn? Skewness, (3e moment), heb je liever positief. Dat betekend namelijk dat de gemiddelde kans op een positieve return hoger ligt in vergelijking met een normale verdeling. Wat betreft kurtosis, (4e moment), die je wil zo laag mogelijk hebben. Des te lager de kurtosis, des te lager de kans op 'extreme' scenario's. Wat je dus wilt, is een model waar je 'vrij' kunt kiezen in wat voor soort belegger je bent. Ben je alleen geïnteresseerd in winst, en 'you don't care about risk?' moet net zo goed mogelijk zijn, in vergelijking met een belegger die alle 4 de momenten belangrijk vindt. En uiteraard moet het ook nog de mogelijkheid zijn om de oude belegger zijn kans te geven met het mean-variance model. Dit heet een hogere momenten model, en wiskundig ziet dit er zo uit:


R*, V*, S*, K* staan voor de optimale waarden voor de 4 momenten. (gemiddelde, variantie, scheefheid, kurtosis). De 4 'tot de macht' omgekeerde y'tjes (lambdas) rechts boven de d'tjes, staan voor de preferentie van de belegger. Iemand die alleen wil beleggen met 1 gedachte, winst, is bijvoorbeeld een (1 0 0 0 ) belegger. Een nul voor de 3 andere momenten, omdat hij daar immers totaal niet naar kijkt. Je zou dan in je 1e lambda een 1 zetten, en de rest een nul.

Ik doe op het moment veel onderzoek naar dit soort modellen, en het valt op dat er veel weerstand is om oudere modellen te veranderen. Gelukkig zijn er een aantal zaken die al wel op de problemen willen vooruit lopen, om bij grote portefeuilles wel degelijk een zo 'goed mogelijke' risico robuuste portfolio te creëren en af te stappen van de oude meuk.

Vandaar dat ik hierbij een voorbeeldje wil geven, hoe je in een wereld die verdeeld is in 8 financiële assets, risk robust zou kunnen beleggen tegen een bepaalde jaarlijkse minimum return die je graag wilt behalen.

Stel de wereld bestaat uit 8 mogelijke investeringen

----(95-12')---
1. Aandelen (MSCI world index)
2. Obligaties (Barclays europa aggregate index)
3. High yield obligaties (US high yield index)
4. Vastgoed (Nareit global index)
5. Grondstoffen (gsci index)
6. Private Equity (LPX index)
7. Hedge fondsen (HFRI index)
8. Een risk free asset (3 Maands US libor)

Je neemt als risico maatstaf, de 2.5% VaR en de 2.5% M(VaR) (eentje die wel 3e en 4e momenten meeneemt). Stel je vergelijkt een casino klant (iemand die alleen maar op winst uit is), met een oude belegger (markowitz model), met een 'nieuwe' belegger, die ook inziet dat 3e en 4e momenten invloed hebben op de risico die je loopt als belegger.

Zie hier de resultaten (de 1e is de oude belegger, de 2e de nieuwe belegger en als laatste (3e) de casino klant. In de gele balk zie je de jaarlijkse rendementen (helemaal links staat het model). In het witte zie je de allocatie, naar een optimaal punt geconvergeerd van het bovenstaande wiskundig model.



Wat je bijvoorbeeld opvalt, is dat de 8,86% jaarlijkse return (de bovenste van de 3, helemaal rechts boven aan), een M(VaR) heeft van 57% terwijl de VaR 'slechts' 32% aangeeft. Je kunt dit lezen als, 2.5% kans op een verlies van 57% als je M(VaR) als maatstaf neemt voor risico of slechts 2.5% kans op 32% verlies als je Value at Risk als maatstaf neemt. Dit geeft dus aan bij relatief hoge jaarlijkse rendement portefeuille's, de risico's gemakkelijk verkeerd geschat kunnen worden, zonder dat je dat intuïtief goed door hebt. Ook zie je hier uit dat wanneer je wel de hogere momenten meeneemt qua allocatie ter vergelijking met het oude model, je daadwerkelijke risico naar beneden gaat.

Het volgende plaatje laat zien, dat wanneer men voor hogere returns gaat qua portfolio allocatie, je daadwerkelijke risico flink oploopt terwijl VaR 'de schijn' geeft dat dat wel meevalt:



Je ziet bij hogere jaarlijkse returns, de risico's volledig verkeerd worden ingeschat. Waarom? Omdat bij hogere returns, vaak assets horen die belachelijke waardes voor de 3e en 4e momenten laten zien. Je loopt dus steeds meer risico! Intuïtief hebben mensen dit vaak niet door omdat je niet echt in een 4-dimensionale wereld leeft. Deze resultaten laten zien, dat het wel degelijk, mits je risico robuust wil beleggen, hogere momenten zou moeten overwegen.

Je kunt dit model natuurlijk ook onderverdelen in alleen maar de aandelen van de AEX, om zo te kijken hoe je het beste 'risk robuust' kunt beleggen. Geeft best interessante allocaties weer.

Als je hier na denkt, wattefok moet ik hier nu allemaal mee! Rare wiskundige crap! De clou van het verhaal wat ik wil meegeven is dat men hogere momenten vaak over het hoofd ziet als men gaat beleggen en vaak alleen maar op Sharpe en bijv. Return is gericht. Bij creatie van relatief hoge rendement portefeuilles bouw je bijna een factor 2 zo veel risico in. Het is dan ook geen slecht idee om wanneer je je eigen beleggingen bekijkt, de skewness (die wil je zo hoog mogelijk) en kurtosis (die wil je zo laag mogelijk) van die series eens te bekijken. Wie weet heb je er nog wat aan!

[ Bericht 0% gewijzigd door sitting_elfling op 16-05-2012 22:59:51 ]

quote:

Op woensdag 16 mei 2012 23:55 schreef Outlined het volgende:
interessant

Alles is wel gebaseerd op historische data toch?
Bestaat er ook een 5e moment?
Hoe zit het trouwens met diversificatie, hoe zit dat nou in jouw verhaal verwerkt?

1)Alles is inderdaad gebaseerd op historische data.

2)Er bestaan ook hogere momenten, 5e, 6e etc. Die zijn nog minder bekend.

3)Diversificatie is er in die zin, dat ik uit een mandje met 8 opties (die niet met elkaar te vergelijken zijn) kan kiezen. Het nut van diversificatie is niet lineair dus is het mijn inziens (volkomen) onnodig om veel meer opties te kiezen. Je zit namelijk wel met het probleem dat, hoe meer 'momenten' je meeneemt, hoe meer je parameters moet berekenen. Voor de leek moet je dit zien als, hoe meer je iets moet berekenen, en des te meer dit het geval is, des te hoger de kans dat het 'uiteindelijke' resultaat minder accuraat zal zijn. Gooi er 100 assets in, zal het uiteindelijke resultaat minder accuraat zijn om dat je ook co-scheefheid en co-kurtosis van elkander moet gaan berekenen.



Moraal van het verhaal is dus dat mensen die aandelen willen kopen waar men een hoog rendement verwacht, vaak onverwacht te veel risico met zich meenemen. Door zo'n model als dit zou je dat kunnen voorkomen.

quote:

Op donderdag 17 mei 2012 11:58 schreef SeLang het volgende:
Interessante post en sowieso een erg interessant onderwerp!

Ik deel natuurlijk je conclusie dat rendements jagers risico vaak te laag inschatten. Ik hoef alleen maar om me heen te kijken om te constateren dat beleggers die veel risico hebben genomen het bijna zonder uitzondering op lange termijn slecht hebben gedaan, terwijl de aanname altijd is dat (hoewel volatiel) zij hogere rendementen zouden moeten maken. Dit wordt verstrekt door het asymmetrische karakter van winst/verlies: als je 50% van je kapitaal verliest moet je daarna maar liefst 100% winst maken om weer break-even te komen. Is dit eigenlijk meegenomen in het model?

Hoe zag je dit voor je? Soort van out of sample analyse en dan kijken hoe ver je komt qua verlies? Je haalt bijv. de laatste 4 jaar van je data af, en dan check je op dat punt de gewichten, en daarna de returns over die laatste 4 jaar op basis van de optimale allocatie 4 jaar eerder, met dezelfde 3 modellen? En dan kijken hoe de returns lopen?

quote:

Wat me wel een probleem lijkt met dit model is dat kurtosis uiteindelijk vooral wordt bepaald door 'black swan' type gebeurtenissen. En een 'black swan' komt per definitie als een donderslag bij heldere hemel. Een zekere zaak blijkt opeens helemaal niet zo zeker te zijn. Daarom lijkt het me lastig om van tevoren een portefeuille zo in te richten dat het immuun wordt voor dergelijke gebeurtenissen.

In 2006 had een belegger bijvoorbeeld in Griekse staatsschuld kunnen beleggen en kunnen denken dat het -hoewel misschien niet zo veilig is als Duitse staatsschuld- in elk geval vele malen minder kans geeft op een definitief verlies van kapitaal dan zeg, aandelen. Echter, anno 2012 zou die belegger definitief 90% van zijn investering kwijt zijn!

Wat trouwens subliem zichtbaar is in je tabel en je grafiek is hoe risico letterlijk explodeert als je een paar procentjes extra rendement probeert te halen. Een absoluut drama voor pensioenfondsen nu de risk-free rate bijna nul is!

Een van de redenen waarom pensioen fondsen en andere grote vermogensbeheerders over stappen op meer risico robuuste portefeuille's.

Wat betreft kurtosis, daar heb je zeker gelijk in. Een black swan zal er ook voor zorgen dat alle asset classes worden geraakt. Maar als je de wereld erg globaal gaat indelen in deze 'grote classes' kun je de verdeling best goed in elkaar zetten. High yield heeft bijv. een kurtosis van 13,64 en de 3 maandse Libor heeft een kurtosis van 2,17. Je hoeft geen rocket scientist te zijn om te zien dat er bij High Yield je exposure naar een 'black swan' toch wel hoger is .

quote:

Op donderdag 17 mei 2012 13:53 schreef Apollon het volgende:
3% risicovrij? Voor zover "risicovrij" überhaupt nog bestaat..

Ik geloof niet dat er een scenario is waar op exact hetzelfde moment, alle assets volledig kopje onder gaan. Mijn inziens is er dus altijd wel een 'risico vrije asset' waar je in kunt investeren. In dit geval is het meer een 'minst risico vrije asset' .

quote:

Een lichte simplificatie is trouwens wel op z'n plaats hier. In een notendop gaat de huidige algemene maatstaf voor risico, value at risk (VaR), uit van een normale verdeling van de return distributie. VaR geeft antwoord op de vraag: "als vandaag statistisch gezien een slechte dag is, hoeveel ga ik dan minimaal verliezen." Dit geeft geen antwoord op de vraag hoeveel dan precies.

Nu is een normale verdeling niet echt representatief voor return distributions in het algemeen (deze zijn meer fat tailed, dus VaR onderschat altijd het echte risico), dit is waar andere momenten gaan spelen. Skewness is de scheefheid van je return distributie, terwijl kurtosis verwijst naar de "piekvormigheid." Deze zijn meer gevoellig voor outliers (in de tails dus), waardoor een risicomaatstaf die hierop gebaseerd is automatisch hoger uit zal vallen.

De obligatie index en de 3 maands US libor zijn overigens zo goed als normaal verdeeld.

quote:

Banken moeten kapitaal aanhouden op basis van het gerapporteerde risico, dus een hoger risico zou betekenen dat banken ook meer kapitaal aan zouden moeten houden. Hierdoor kunnen ze eventuele klappen beter opvangen. Leuk als dit gebeurt, maar niemand kan garanderen dat dit ook echt voldoende zal zijn wanneer er echt iets gebeurt. Wat mij betreft bieden dergelijke modellen alleen maar meer schijnzekerheid.

Ik ben het niet met je eens dat dergelijke modellen alleen maar meer schijnzekerheid geven. Een Modified VaR heeft wel degelijk toegevoegde waarde qua risico maatstaf. VaR an sich, of je nu de parametrische/monte carlo of historische neemt maakt in die zin allemaal niet zo veel uit. Ik verwacht dan ook dat de ECB overgaat op de Conditionele VaR, de daadwerkelijke verliezen in de staart als het mis gaat. Ik ben het wel met je eens dat wanneer er echt een enorme ramp staat te verwachtten, meeste van dit soort risico modellen de prullenbak in kunnen.

Als banken extra kapitaal moeten aanhouden zie ik niet in waarom er geen lagere kans op een default zou moeten zijn. Als ze meer kapitaal moeten aanhouden zit de kans er ook in dat ze minder risicos (minder leverage) aan kunnen gaan.

quote:

Op donderdag 17 mei 2012 14:30 schreef Arkai het volgende:

[..]

Dat weet ik niet zo zeker. Een van de kenmerken van een Black Swan is dat de Bell-curve niet meer toepasbaar is dus heeft kurtosis ook geen voorspellende waarde voor het risico in het geval dat er eentje optreedt. Black Swans zijn immers in staat om de meest veilige assetklassen overhoop te gooien zodat de ogenschijnlijk risicovolle assetgroep ineens een safe haven kan worden.

De 3 maandse libor, van 96-12' is zo goed als normaal verdeeld en heeft in die zin de internet en hypotheek crash weten te overleven met een kurtosis van onder de 3. Ik ben het met je eens dat wanneer je een keuze zou moeten maken tussen 4 assets met een kurtosis van 4,5,6 of 7 de kansen niet heel veel anders zullen liggen. Dit zal (denk ik) alleen wel anders zijn als je moet kiezen tussen een asset met een kurtosis van 2 of 14. Wil je daar nog specifiekere informatie over zul je denk ik toch de momenten hoger dan de 4e moeten meenemen. Maar dan wordt het intuïtief toch wel een beetje een lastig verhaal

quote:

Op donderdag 17 mei 2012 15:03 schreef Dinosaur_Sr het volgende:
Als ik de laatste alinea van de OP lees, denk ik: ja, nogal wiedus.
High yield shit reageert heftiger op incidenten (zeg ik het zo goed)?
Wat trouwens ook met zich meebrengt dat diezelfde shit interessant(er) is in tijden van veel incidenten, imho en gevoelsmatig

Als ik het stuk daarvoor lees, raak ik hopeloos in de wiskundige knoop
Duidelijk fuzzy random hersensen hier aan boord.

Yes. High yield reageert inderdaad heftiger op incidenten. Maar met dit model is het dus de bedoeling dat je nog steeds 'hogere returns' probeert te pakken, zonder die risico's van de hogere momenten en dus niet in High Yield belegt maar in iets anders, met dezelfde returns, maar lagere risico's. Hedge fondsen en private equity leveren dezelfde returns ivg met High Yield maar met minder 'hogere momenten' risico.

quote:

Op donderdag 17 mei 2012 15:30 schreef ratatat het volgende:
Hoe moet ik die d_1 t/m d_4 interpreteren? Heb je wat literatuur die deze modellen bespreken?

Het achterliggende rationaal van dit model is in wezen de minkovski afstand. Die d'tjes moet je zien als de afstand tussen de 'aspired' waardes (de sterretjes, dus maximum mean en skew en minimum variantie en kurtosis.) en de nominale waardes je wilt dat verkleinen tot een optimale (minimum) Z-waarde. Check voor paper met uitleg, daar staat het wat beter in. Probeer anders de paper van Kin Keung Lai and Lean Yu and Shouyang Wang te vinden over dit model. Maar weet zo niet of die freely available is op het internet.

quote:

Op donderdag 17 mei 2012 15:15 schreef Dinosaur_Sr het volgende:

[..]

Ik zou zeggen dat timing daar meer invloed op heeft dan allocatie, maar funds hebben vaak niet de luxe van kunnen timen, maar moeten gewoon in de markt zitten

Maar voor mijn simpele niet-academische ziel, hoe leidt een dergelijk model in de praktijk tot een concrete allocatie? Ik bedoel vanuit dit denkmodel naar de concrete beslissing om aandeel A of B te kopen.

Funds mogen(!) ook niet altijd timen. Vaak zijn het dus gewoon statische modellen.

Hoe moet je dit in de praktijk zien? Stel een private bank gebruikt zo'n model. Om de klanten te voorzien van keuzes zijn er vaak 'vaste risico' profielen. Bijvoorbeeld, zeer defensief, defensief, neutraal, offensief en zeer offensief. Er wordt dan afgesproken wat voor percentages er worden gebruikt voor de 5 profielen. Dan kom je bij je modellen aan, neutraal is bijvoorbeeld een 4 maal 1 model, met een verwacht rendement van 5%. Op basis van die 5% komen er gewichten uit in die 8 asset classes. Stel er komt 20% private equity uit, dan doe je nogmaals hetzelfde model maar dan alleen met wat de zaak daadwerkelijk te bieden heeft qua private equity investments om te kijken hoe je die 20% moet onderverdelen. Et voila.

quote:

Op donderdag 17 mei 2012 15:57 schreef SeLang het volgende:

[..]

Ja zoiets.

Eén van mijn belangrijkste eigen regels is dat je moet zorgen dat je nooit veel geld verliest vanwege de compounding die dan de verkeerde kant op werkt. Verliezen zijn daardoor kostbaarder dan het op het eerste gezicht lijkt. Als ik eerst 50% verlies maak en daarna 50% winst dan sta ik daarna op 25% verlies.

Overigens, een andere opmerking die ik heb is dat de allocatie statisch lijkt te zijn. Klopt dat? De winst/ risico verhouding van bijvoorbeeld aandelen is momenteel abominabel slecht imo en de min of meer risicovrije 3,2% die ik momenteel gemiddeld op mijn bankrekeningen ontvang lijkt in verhouding extreem aantrekkelijk (*). Maar op de helft van de huidige koersen zouden aandelen aantrekkelijk kunnen worden met verdubbelde verwachte returns en een halvering van het risico. Ik weet zeker dat je met het dynamisch managen van die allocatie je risico enorm terug kunt brengen voor gelijkblijvende lange termijn returns.

_{(*) Totdat de Nederlandse staat failliet gaat en de bankgaranties niet meer kan waarmaken. Maar dat zou dus in dat 4de moment moeten zitten in het model}

Het is op het moment statisch. Alleen heeft dit model als voordeel, dat je er ook restricties (relatief gemakkelijk) in kunt zetten. Bijvoorbeeld alleen inkopen op asset 1, wanneer het een specifieke shiller p/e heeft. Of bijvoorbeeld dat je maar maximum 30% in elke asset mag stoppen. Het model zal altijd een optimaal punt proberen te zoeken voor de 4 momenten, om de risico dus zo laag mogelijk te houden.

Ik zal eens even kijken hoe de 3 modellen het doen als ik mn optimale gewichten bereken op het hoogste punt van de bubble in 2007/2008. Op basis van een verwacht 5% rendement. En daarna vanaf dat punt de returns berekenen tot aan nu. Kijken of deze theorie een beetje werkt of het eigenlijk direct weer in de prullenbak kan

quote:

Op donderdag 17 mei 2012 18:38 schreef ratatat het volgende:
Net even dat paper gelezen. Erg interessant wel. Ben alleen bang dat het toch vrij lang gaat duren voordat de grote partijen met zulke modellen gaan werken.

@S_E: Hoe doe jij dat eigenlijk met het schatten van je momenten. Neem aan dat je means en varianties op een robuuste manier doet? En hoe zit het met skewness en kurtosis? Dan krijg je nog meer variabelen die je moet uitrekenen, of neem je coskewness en cokurtosis niet mee?

Hoezo eigenlijk niet zulke portfolios construeren met copula?

Check paper voor de methode waarop ik m'n 2e, 3e, en 4e moment bereken. Op pagina 17, zie je hoe ik de coskewnes matrix bepaal en de cokurtosis matrix. Op pagina 12, zie je de optimalisatie via een utility functie. Ik gebruik dat voor mn optimalizatie per moment, dus via de kroneckers.

Ben op het moment een out of sample test aan het runnen voor 3 modellen, waar ik het optimale punt bereken op 31-12-2007, en dan out of sample test tot 2012 voor het mean-variance model, het hogere momenten model en een 'casino variant'. Dit in een wereld waar wel een Risk free asset bestaat, en 1 wereld waar hij niet bestaat. De resultaten spreken boekdelen, moet nog ff setje runnen dan ben ik er mee klaar