quote:
Op vrijdag 11 mei 2012 17:53 schreef Quir het volgende:Ik ben bezig met het doorwerken van Basisboek Wiskunde maar loop nu wat vast bij de vlakken. Er wordt gevraagd een vergelijking van een vlak op te stellen door drie gegeven punten, en die kan ik vinden, maar ik snap er een deel niet van.
Met als voorbeeld de drie punten A(2,0,0), B(0,3,0) en C(0,0,4) in een stelsel Oxyz vind ik als volgt de vergelijking van de twee lijnen door A & B en B & C
De vergelijkingen die je geeft stellen in de driedimensionale ruimte vlakken voor, geen lijnen, dus hier gaat het al fout.
Het idee is dat je eerst een normaalvector
n bepaalt van je vlak V. Dat is een vector die loodrecht op het vlak staat. Is nu
v = (x,y,z) een willekeurige vector met eindpunt in je vlak V en
v0 = (x
0,y
0,z
0) een vaste vector met eindpunt in je vlak, dan is vector
v - v0 evenwijdig aan je vlak en staat deze verschilvector dus
loodrecht op je normaalvector
n, zodat het inproduct van
v- v0 en
n gelijk is aan nul:
(1)
n∙(v - v0) = 0
En dus geldt ook:
(2)
n∙v =
n∙v0Een vaste vector
v0 met eindpunt in je vlak V ken je al omdat je immers de drie punten A,B en C kent die in vlak V liggen, zodat je hier voor
v0 bijvoorbeeld de vector
a = (2,0,0) zou kunnen nemen zodat x
0 =2, y
0 = 0 en z
0 = 0.
De kunst is nu om een geschikte normaalvector
n = (a,b,c) te bepalen want dan kun je voor (1) schrijven:
(3) a(x - x
0) + b(y - y
0) + c(z - z
0) = 0,
en voor (2) kun je schrijven:
(4) ax + by + cz = ax
0 + by
0 + cz
0,
en (3) of (4) is uiteraard de gezochte cartesische vergelijking van je vlak. Om nu een geschikte normaalvector
n = (a,b,c) en daarmee de waarden van a,b en c te vinden kun je bedenken dat
n loodrecht staat op zowel de verschilvector
b - a als de verschilvector
c - a, aangezien deze beide verschilvectoren evenwijdig zijn aan vlak V. En dus moet het inproduct van
n = (a,b,c) met zowel
b - a = (-2,3,0) als
c - a = (-2,0,4) gelijk zijn aan nul. Dit geeft:
(5a) -2a + 3b = 0
(5b) -2a + 4c = 0
Hier heb je twee lineaire vergelijkingen in drie onbekenden a, b en c, en dus lijkt het alsof je nog één lineaire vergelijking tekort komt. Maar dat is niet zo, want als we
n met een scalar vermenigvuldigen, dan hebben we nog steeds een vector die loodrecht op vlak V staat, dus zijn a,b,c niet eenduidig bepaald. Dat is ook meteen duidelijk uit de cartesische vergelijking (3) want als je hier beide leden met een getal ongelijk nul vermenigvuldigt, dan heb je nog steeds een geldige cartesische vergelijking van je vlak V.
We kunnen nu met (5a) en (5b) de waarde van a en b uitdrukken in c. Uit (5b) volgt dat a = 2c en substitutie hiervan in (5a) levert b = (4/3)∙c en dus hebben we
n = (2c, (4/3)∙c, c). Kiezen we nu bijvoorbeeld c = 3, dan krijgen we
n = (6, 4, 3). Op grond van (3) wordt de cartesische vergelijking van je vlak V nu:
(6) 6(x - 2) + 4(y - 0) + 3(z - 0) = 0,
en uitwerken hiervan geeft:
(7) 6x + 4y + 3z = 12
Je kunt nu door invullen gemakkelijk controleren dat de coördinaten van de punten A, B en C inderdaad aan (7) voldoen. Overigens hadden we in dit speciale geval de vergelijking van het vlak direct uit het hoofd kunnen opschrijven in de vorm (1/2)∙x + (1/3)∙y + (1/4)∙z = 1 omdat van elk van de drie gegeven punten A resp. B resp. C alleen de x- resp. y- resp. z-coördinaat ongelijk is aan nul. Maar in het algemeen is dat uiteraard niet zo als je de cartesische vergelijking van een vlak door drie gegeven punten op moet stellen.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 12-05-2012 02:21:53 ]