Randomness in trading: de Arcsine Law

Hier op dit forum is al vaak geschreven over de rol van randomness in trading. Over patronen die we denken te herkennen in random processen en ook over hoe makkelijk we bepaalde trading resultaten toeschrijven aan "skills" (of het ontbreken daarvan). In dit topic wil ik één van de grootste mindf*cks bespreken van een random walk: de Arcsine Law.

Een makkelijk te begrijpen equivalent van trading zonder "edge" is het opwerpen van een muntje en dit blijven herhalen. Als de uitkomst "kop" is dan winnen we $1 en als het "munt" is dan verliezen we $1. De uitkomst hiervan is de bekende random walk. Om dit proces te bekijken gaan we eens 10 verschillende traders dit systeem laten handelen. Ze spelen tegen "de markt" dus niet tegen elkaar (ze kunnen theoretisch dus alle 10 tegelijkertijd winnen).

Als je 10 traders dit systeem laat handelen dan verwacht je gevoelsmatig misschien dat de totale winst van een individuele trader zal fluctueren rond de nullijn en dat na 1000 "trades" iedereen ongeveer op nul zal uitkomen. Immers, de kans op winst is even groot als de kans op verlies terwijl het te winnen of te verliezen bedrag beiden $1 is. Tevens verwacht je gevoelsmatig dat geen van de traders als een duidelijke winnaar uit de bus zal komen en dat de ranking van wie er aan kop staat en wie achteraan voortdurend zal wisselen gedurende het spel.

Echter, dit is geenzins het geval! Hieronder zie je de equitycurve van de 10 traders. Er zijn duidelijke winnaars en duidelijke verliezers. Ster traders en echte losers! En dat uit een volledig random proces! Hoe is dit mogelijk?



Welcome to the Arcsine Law. Je kunt wiskundig bewijzen dat de kansdichtheid dat een random walk trader een bepaalde tijd in de plus staat (of in de min) wordt gegeven door de volgende functie:

f(x) = 1 / ( π * sqrt( x * (1-x) ) ) met 0<x<1

Hierin is x de tijd dat een trader in de plus of in de min staat gedurende de beschouwde periode. Als we dit plotten krijgen we de volgende grafiek:



Dus stel dat we de trading performance bekijken van een trader over de periode van een jaar, dan geeft dit aan dat de kans dat een trader 6 maanden van de tijd positief staat en 6 maanden negatief veel kleiner is dan de kans dat hij 1 maand positief staat en 11 maanden negatief, of dat hij 1 maand negatief staat en 11 maanden positief.

Dit verklaart het resultaat van de simulatie. Als ik de trading periode verdeel in 100 dagen met elk 11 trades en ik kijk welk percentage van die 100 dagen er positief eindigden en welk percentage negatief dan krijg ik het volgende plaatje:



Dit plaatje is niet echt opmerkelijk. Er zijn duidelijk een paar traders die meer geluk hebben gehad dan anderen maar het fluctueert toch mooi rond de 50%, wat je ook zou verwachten.

Als ik echter een plaatje maak met het percentage van de tijd dat de trader in de plus stond of in de min over de hele periode van 100 dagen dan zie je duidelijk die Arcsine functie terug: ofwel ze staan bijna de hele periode op winst, ofwel ze staan bijna de hele periode op verlies.



Uit de Arcsine Law volgt tevens dat iemand die eenmaal op voorsprong staat een grote kans heeft om die te behouden, evenals iemand die op achterstand staat dat niet snel meer inhaalt. Trader A is een eindbaas kwa total return en Trader I is weliswaar minder winstgevend maar staat vanaf dag één op winst en heeft nooit negatief gestaan! Trader B, F en vooral J zijn een absolute mislukking. Zij zijn gelijk op de eerste dag in de verliezen gedoken en zijn daar nooit meer bovenop gekomen.

Het is bijna niet te geloven, maar dit is het resultaat van een volledig random proces! En geen cherry-picking hier, je kunt deze simulatie zelf gemakkelijk dupliceren in Excel.

Komen dit soort resultaten je bekend voor uit de praktijk? Mensen waarvan je weet dat ze niet liegen en toch al een heel jaar al in de plus staan (of juist in de min)? Je weet nu waarom!

Een paar mensen hier missen het punt van dit topic compleet geloof ik.....