quote:
Op zondag 13 november 2011 13:38 schreef Lukep het volgende:Al eerder gepost, alleen blijkbaar op de verkeerde plek!
Ik heb momenteel een probleem. In mijn methode, getal en ruimte, wordt blijkbaar niet uitgelegd hoe je integralen en riemannsommen (de Sigma-notatie) uitrekent, slechts op je GR.
Hierbij de vraag: hoe moet ik uit het hoofd [
afbeelding ] en
[
afbeelding ] uitrekenen?
Riemannsommen worden in de praktijk alleen met de computer gebruikt om integralen uit te rekenen die
"lastig" zijn. Als je een goede benadering wil met een Riemannsom dan moet je een hele kleine
nemen, dus dan moet je flink veel termen gaan uitrekenen. Met de hand is dat niet zo leuk, tenzij er misschien een mooi patroon in zit maar dat zal in het algemeen niet het geval zijn.
Het kan natuurlijk wel met de hand. Neem bijvoorbeeld de eenvoudige functie f(x)=x (dan krijgen we ook niet zo'n moeilijke som). Stel dat we die willen integreren (met een Riemann som) van 0 tot 2. Neem nu een Delta x van bijvoorbeeld 0.1 (hoe kleiner je die neemt, hoe beter je benadering). Nu moeten we dus 20 termen gaan sommeren:
.
Nu is x
k de x-waarde in het k-de interval. Maar in zo'n interval is f niet constant, dus laten we het punt nemen aan de linkerkant van ieder interval. Dan moeten we berekenen
Ik gebruik hier dus dat x
k = 0.1k en de standaardformule voor een rekenkundige reeks.
We hebben dus berekend dat de oppervlakte onder de grafiek f(x)=x met x tussen 0 en 2 ongeveer 1.9 is. Omdat je in feite de oppervlakte van een eenvoudige driehoek berekent in dit geval, hadden we direct kunnen inzien dat de oppervlakte (exact) 2 is. (basis*hoogte /2 = 2*2/2=2).
Ik nam nu voor x
n steeds het meest linker punt in een intervalletje. Dat is de waarde waar f zijn kleinste waarde aanneemt. Op deze manier hebben we dus met Riemannsommatie bepaald dat de oppervlakte minstens 1.9 is (dat klopt dus ook). Verder kan je ook op ieder interval het maximum bepalen van de functie en daarover sommeren, zodat je ook een bovengrens voor de integraal hebt. Als je je
steeds kleiner en kleiner maakt, convergeren die "bovensom" en "ondersom" naar de werkelijke integraal.
Dit hele proces doe je eigenlijk alleen maar als je een
lastige integraal hebt. Daarmee bedoelde ik een integraal die geen primitieve heeft. Een primitieve is het omgekeerde van een afgeleide. In andere woorden: als F de primitieve is van f, dan geldt F'=f. Als een functie wel een primietieve heeft dan kan je een integraal als volgt berekenen:
waarbij F dus weer de primitieve is van f.
Voorbeeld:
Ik gebruik hier dat
de primitieve is van x. Dat kan je heel makkelijk controleren door er weer de afgeleide van te nemen van
. Met de integraal hebben we dus bepaald dat de oppervlakte exact 2 is.
Helaas kan dit niet altijd. De functie f(x)=e^x² heeft bijvoorbeeld geen primitieve (d.w.z. je kan het niet uitdrukken in standaard functies als sin, log, exp, etc). Om toch een waarde te vinden voor je integraal kan je dan Riemannsommatie gebruiken.
Als je de bewijzen wil zien, zie:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus .
[ Bericht 0% gewijzigd door thenxero op 13-11-2011 14:21:53 ]