quote:
Op donderdag 3 november 2011 21:51 schreef Fingon het volgende:[
afbeelding ]
En als ik dan verder ga kom ik beetje vast te zitten. Als ik labda 1 wegwerk en dan omschrijf naar iets voor labda 2 en dat weer substitueer kom ik op iets compleet nutteloos (bv x2x3=x2x3).
Aan 1e restrictie kan ik zien dat bv. 2 x
i positief zijn en 1 x
i negatief is.
Mijn ''intuitie'' zegt dat het min te vinden is voor x1=x2=-0.5x3, maar iemand suggestie waarom ik dit hieruit kan afleiden?
Om te beginnen zou ik die Lagrange functie schrijven als Λ(x
1,x
2,x
3,λ
1,λ
2), je hebt tenslotte vijf variabelen, en dus vijf partiële afgeleiden die nul moeten zijn (de drie partiële afgeleiden naar x
1,x
2 en x
3 die je geeft en de twee partiële afgeleiden naar λ
1 en λ
2 die je voorwaarden leveren). We hebben zo dus een stelsel van vijf vergelijkingen met vijf onbekenden. Maar nu zie je gemakkelijk dat een permutatie van x
1, x
2 en x
3 in hetzelfde stelsel vergelijkingen resulteert, zodat we ook zonder rekenwerk al kunnen vermoeden dat er 3∙2∙1 = 6 oplossingen zijn (waarvan drie een minimum en drie een maximum opleveren). Een snelle controle met WolframAlpha leert dat dat klopt (
minima en
maxima).
Maar goed, je wil dit uiteraard met pen en papier verifiëren. Uit ∂Λ/∂x
1 = ∂Λ/∂x
2 = 0 volgt dat het verschil van deze afgeleiden ook nul moet zijn en dat levert:
(x
2 - x
1)x
3 - 2λ
2(x
1 - x
2) = 0,
waarvoor we ook kunnen schrijven:
(x
2 - x
1)(x
3 + 2λ
2) = 0
Aan deze voorwaarde is voldaan als x
2 = x
1 of als x
3 = -2λ
2. Elk van deze beide substituties afzonderlijk resulteert erin dat je nog maar
vier vergelijkingen met vier onbekenden overhoudt, omdat er dan twee vergelijkingen samenvallen (ga dit na). Rekenen we even verder met x
2 = x
1 dan volgt door substitutie daarvan in je beide voorwaarden gemakkelijk dat x
12 = x
22 = 1/6. Nu kun je het verder zelf wel uitwerken. Vanwege het feit dat elke permutatie van x
1, x
2 en x
3 ook voldoet komt het erop neer dat het product x
1x
2x
3 een minimum -(1/3)∙√(1/6) bereikt onder de gegeven voorwaarden als twee van de drie variabelen gelijk zijn aan √(1/6) en de derde gelijk is aan -2√(1/6) = -√(2/3).