[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

SES School, Studie en Onderwijs

Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni

Je bent niet ingelogd. Klik hier om in te loggen of hier om een gratis account aan te maken.

actieve topics nieuwe topics

abonnement Unibet Coolblue

actieve topics nieuwe topics

abonnement Unibet Coolblue

zaterdag 24 september 2011 @ 11:30:25 #176

Anoonumos

$\sqrt{x^2 + x + 4} + x$
Hoe kan ik dit anders schrijven zodat ik de limiet van x naar min oneindig kan bepalen (die - 1/2 is?)

zaterdag 24 september 2011 @ 11:36:10 #177

GlowMouse

l'état, c'est moi

Vermenigvuldig eens met $\frac{ \sqrt{x^2+x+4} - x}{ \sqrt{x^2+x+4} - x}$

eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0

zaterdag 24 september 2011 @ 14:08:18 #178

Anoonumos

$\frac{x+4}{sqrt(x^2 + x +4) - x}$

Je kan laten zien dat die bovenste 4 'vervalt' (delen door oneindig)
Dan loop ik vast. Wolfram Alpha deelt door x en gebruikt dan regels die ik nog niet ken. (power law, L'Hospital rule)

zaterdag 24 september 2011 @ 14:24:38 #179

keesjeislief

NextGenerationHippie

Inderdaad delen door x, dit geeft:

$\frac{1+\frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x+4}}{x}-1}$ (*)

en hierin is voor x<0:

$\frac{\sqrt{x^2+x+4}}{x} = \frac{\sqrt{x^2+x+4}}{-\sqrt{x^2}} = - \sqrt{\frac{x^2+x+4}{x^2}} = - \sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}} \to -1$ als $x \to -\infty$ ,

dus (*) convergeert naar $\frac{1}{-1-1}=-1/2$ als $x \to -\infty$ .

heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek

zaterdag 24 september 2011 @ 16:22:54 #180

thenxero

Hoe bereken ik dat

$\sum_{k=2}^\infty k \text{Binom}(k,2) (1-p)^{k-2} = \frac{3-p}{p^4}$ ?

Binom staat voor het binomiaalcoëfficiënt.

Het is geen meetkundige rij... maar het staat als rekenopgave in mijn textboek, dus zou toch met pen en papier moeten kunnen.

zaterdag 24 september 2011 @ 16:55:43 #181

GlowMouse

l'état, c'est moi

$\sum_{k=2}^\infty \frac{k^3-k}{2} (1-p)^{k-2}$

wat een naar ding...

$\frac{d}{dp} \sum_{k=2}^\infty \frac{k^3-k}{2} (1-p)^{k-2}$
$= -\sum_{k=2}^\infty \frac{k^3-k}{2} (1-p)^{k-3}$
$= -\frac{1}{1-p} \sum_{k=2}^\infty \frac{k^3-k}{2} (1-p)^{k-2}$

dus het antwoord is de oplossing van de dv d/dp y(p) = -1/(1-p) y(p).

eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0

zaterdag 24 september 2011 @ 16:55:44 #182

keesjeislief

NextGenerationHippie

Beetje creatief knutselen met de geometrische rij, wat gebeurt er als je de identiteit $\sum_{k \geq 0} x^k = 1/(1-x)$ differentieert naar x?

heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek

zaterdag 24 september 2011 @ 19:09:03 #183

Riparius

quote:
Op zaterdag 24 september 2011 16:55 schreef GlowMouse het volgende:
$\sum_{k=2}^\infty \frac{k^3-k}{2} (1-p)^{k-2}$

wat een naar ding...

$\frac{d}{dp} \sum_{k=2}^\infty \frac{k^3-k}{2} (1-p)^{k-2}$
$= -\sum_{k=2}^\infty \frac{k^3-k}{2} (1-p)^{k-3}$
$= -\frac{1}{1-p} \sum_{k=2}^\infty \frac{k^3-k}{2} (1-p)^{k-2}$

dus het antwoord is de oplossing van de dv d/dp y(p) = -1/(1-p) y(p).

Dit klopt toch niet? Je vergeet een factor (k-2) bij het differentiëren naar p van de termen van de reeks en tevens is k(^k₂) = (k³ - k²)/2.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 24-09-2011 19:36:07 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zaterdag 24 september 2011 @ 19:13:10 #184

thenxero

Glowmouse, ik zie niet waar je die [k^3-k] / 2 vandaan haalt.

zaterdag 24 september 2011 @ 19:15:04 #185

keesjeislief

NextGenerationHippie

quote:
Op zaterdag 24 september 2011 19:13 schreef thenxero het volgende:
Glowmouse, ik zie niet waar je die [k^3-k] / 2 vandaan haalt.

Ik denk dat je beter die geometrische som kunt gebruiken, dat zal ook wel de bedoeling van de opgave zijn denk ik.

heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek

zaterdag 24 september 2011 @ 19:17:14 #186

thenxero

quote:
Op zaterdag 24 september 2011 19:15 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Ik denk dat je beter die geometrische som kunt gebruiken, dat zal ook wel de bedoeling van de opgave zijn denk ik.

Als je die differentiëert krijg je trouwens

$\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$

Maar ik weet niet echt wat ik met dat binomiaalcoëfficiënt aanmoet...

zaterdag 24 september 2011 @ 19:20:55 #187

Riparius

quote:
Op zaterdag 24 september 2011 19:13 schreef thenxero het volgende:
Glowmouse, ik zie niet waar je die [k^3-k] / 2 vandaan haalt.

(^k₂) = k(k-1)/2, dus k(^k₂) = (k³ - k²)/2. Maar de oplossing van Glowmouse klopt niet, ook al niet omdat hij een factor (k-2) vergeet.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zaterdag 24 september 2011 @ 19:21:40 #188

keesjeislief

NextGenerationHippie

quote:
Op zaterdag 24 september 2011 19:17 schreef thenxero het volgende:

[..]

Als je die differentiëert krijg je trouwens

$k \sum_{k=1}^\infty x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$

Met de k in de som bedoel je? Als je nu gebruikt dat $k {k \choose 2}=k^2(k-1)/2$ , dan kun je jouw som in delen schrijven die allemaal uit te drukken zijn als de eerste/tweede/... afgeleide van $\sum_{k=0}^\infty x^{k}$ en kun je op die manier een uitdrukking voor jouw som vinden.

heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek

zaterdag 24 september 2011 @ 19:44:11 #189

thenxero

quote:
Op zaterdag 24 september 2011 19:21 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Met de k in de som bedoel je? Als je nu gebruikt dat $k {k \choose 2}=k^2(k-1)/2$ , dan kun je jouw som in delen schrijven die allemaal uit te drukken zijn als de eerste/tweede/... afgeleide van $\sum_{k=0}^\infty x^{k}$ en kun je op die manier een uitdrukking voor jouw som vinden.

Pff dat is nog een heel karwei. Je krijgt dan uiteindelijk een DV die je moet oplossen? Met de afgeleide van de rechterkant van die identiteit is vast makkelijker.

Zo'n gedoe voor een vraag uit de kansrekening, dat had ik niet verwacht

zaterdag 24 september 2011 @ 21:05:29 #190

Riparius

quote:
Op zaterdag 24 september 2011 19:44 schreef thenxero het volgende:

[..]

Pff dat is nog een heel karwei.

Vind je? Lees eens wat werk van Leonard Euler, dat was een absolute virtuoos op het gebied van het manipuleren van oneindige reeksen en dan zie je pas echt dingen waar je perplex van staat.

quote:
Zo'n gedoe voor een vraag uit de kansrekening, dat had ik niet verwacht .

Is toch een mooie uitdaging?

Bekijk het eens als volgt (met dank aan keesjeislief). Beschouw een reeks waarvan de termen van de gedaante

(1) (1 - p)^k+1

zijn, en waarbij je k laat lopen van 2 tot ∞. Merk trouwens op dat deze reeks alleen convergent is voor |1 - p| < 1. Deze meetkundige reeks kun je gemakkelijk sommeren en daarmee uitdrukken in p. Neem nu van beide zijden van je identiteit de afgeleide naar p, dan zijn de termen van de nieuwe reeks te schrijven als:

(2) -k(1 - p)^k - (1 - p)^k

De som van de deeltermen van de gedaante (1 - p)^k kun je gemakkelijk uitdrukken in p, dit is namelijk gelijk aan de som van de termen van de gedaante (1) gedeeld door (1 - p). Met deze gegevens kun je ook de som van deeltermen van (2) van de gedaante k(1 - p)^k uitdrukken in p. Nu weer van (2) de afgeleide naar p nemen, dus de tweede afgeleide naar p van (1), en we krijgen

(3) k²(1 - p)^k-1 + k(1 - p)^k-1

We hebben al een uitdrukking in p voor de som van de termen van (3), namelijk de afgeleide naar p van de som van de termen van de gedaante (2), en aangezien de som van de deeltermen van (3) van de gedaante k(1 - p)^k-1 gelijk is aan de eerder bepaalde som van de termen van de gedaante k(1 - p)^k gedeeld door (1 - p) kunnen we met deze gegevens weer een uitdrukking in p voor de som van de deeltermen van (3) van de gedaante k²(1 - p)^k-1 afleiden. Nu weer (3) differentiëren naar p en we krijgen een uitdrukking die we kunnen schrijven als:

(4) -k²(k - 1)(1 - p)^k-2 - k²(1 - p)^k-2 + k(1 - p)^k-2

De som van de termen van de gedaante (4) uitgedrukt in p is bekend, want dit is de derde afgeleide van (1), en de som van de deeltermen van (4) van de gedaante k²(1 - p)^k-2 en k(1 - p)^k-2 kunnen we weer uitdrukken in p door de eerder gevonden uitdrukkingen in p voor de sommen van termen van de gedaantes k²(1 - p)^k-1 resp. k(1 - p)^k-1 te delen door (1 - p). En daarmee zijn we dan in staat om de som van de deeltermen van (4) van de gedaante k²(k - 1)(1 - p)^k-2 uit te drukken in p. De gevraagde som van de reeks bestaande uit termen van de gedaante k(^k₂)(1 - p)^k-2 is uiteraard de helft daarvan.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-09-2011 21:30:39 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zaterdag 24 september 2011 @ 21:26:20 #191

GlowMouse

l'état, c'est moi

quote:
Op zaterdag 24 september 2011 19:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit klopt toch niet? Je vergeet een factor (k-2) bij het differentiëren naar p van de termen van de reeks en tevens is k(^k₂) = (k³ - k²)/2.

je hebt gelijk

eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0

zondag 25 september 2011 @ 14:18:36 #192

Anoonumos

Bewering: U1 en U2 deelruimtes van vectorruimte V, dan
$U_1 \cup U_2$ is ook een deelruimte van V desda $U_1 \in U_2$ of $U_2 \in U_1$

Aantonen dat de vereniging een deelruimte is als die voorwaarde geldt lukt me. Andersom niet.

Voor alle $x \in U_1$ en alle $y \in U_2$ geldt dat de som van x en y in de vereniging van U1 en U2 zit. Hoe kan ik daaruit concluderen dat $U_1 \in U_2$ of $U_2 \in U_1$
? Ik heb geprobeerd aan te nemen dat $U_1 \not\in U_2$ of $U_2 \not\in U_1$ en dan tegenspraak proberen te vinden, maar daar kom ik niet uit.

zondag 25 september 2011 @ 14:22:26 #193

thabit

quote:
Op zondag 25 september 2011 14:18 schreef Anoonumos het volgende:
Bewering: U1 en U2 deelruimtes van vectorruimte V, dan
$U_1 \cup U_2$ is ook een deelruimte van V desda $U_1 \in U_2$ of $U_2 \in U_1$

Aantonen dat de vereniging een deelruimte is als die voorwaarde geldt lukt me. Andersom niet.

Voor alle $x \in U_1$ en alle $y \in U_2$ geldt dat de som van x en y in de vereniging van U1 en U2 zit. Hoe kan ik daaruit concluderen dat $U_1 \in U_2$ of $U_2 \in U_1$
? Ik heb geprobeerd aan te nemen dat $U_1 \not\in U_2$ of $U_2 \not\in U_1$ en dan tegenspraak proberen te vinden, maar daar kom ik niet uit.

Latex tip: \subset

Als het niet geldt, dan is er een x in U₁-U₂ en een y in U₂-U₁. Nu jij weer.

zondag 25 september 2011 @ 14:33:30 #194

Anoonumos

Dat betekent meteen dat x + y niet in de vereniging van U1 en U2 zit, dus tegenspraak?
(edit)Nee dat klopt niet

Dus x + y > $U_1 \cup U_2$

[ Bericht 27% gewijzigd door Anoonumos op 25-09-2011 14:38:37 ]

zondag 25 september 2011 @ 15:35:33 #195

thabit

Wat bedoel je met ">" ?

zondag 25 september 2011 @ 15:44:45 #196

Anoonumos

Sorry, dat x + y buiten die doorsnede valt. Maar ik twijfel of je dat zo kan concluderen.

zondag 25 september 2011 @ 15:50:19 #197

thabit

Wat betekent het dat iets in de vereniging van twee verzamelingen zit?

zondag 25 september 2011 @ 15:54:27 #198

Anoonumos

Het zit in de een, of in de ander (of beide).
Dus x + y zit niet in U1, niet in U2, dus ook niet in U1verenigdU2.

zondag 25 september 2011 @ 15:55:35 #199

GlowMouse

l'état, c'est moi

En waarom zit x+y niet in U1?

eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0

zondag 25 september 2011 @ 16:05:22 #200

Anoonumos

Deelruimte: u en v in deelruimte, u + v ook in deelruimte.
Andersom als x + y in een deelruimte zitten, dan x en y ook. Of mag je dat niet zomaar omdraaien?

actieve topics nieuwe topics

abonnement Unibet Coolblue

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs