[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Ik ben bezig met een wiskunde opfriscursus en ben nu bij het onderwerp differentieren beland. Ik heb het vroeger allemaal gehad en had er nooit problemen mee, maar er is een vraag die ik niet echt begrijp.


Hij luidt als volgt:
Voor de differentieerbare functie f geldt dat:
f(x) = 10x^2 + 2x + 5 als x ≤ 1.
Voor x>1 geldt dat f(x)=a⋅x+b voor constanten a en b.

Wat zijn de waarden van a en b? Wat is het functievoorschrift f(x) voor x>1?
Voor x>1 geldt f(x)= [hier je antwoord]


Bij 'tips' staat het volgende over dit 'probleem':
Kies de waarden van a en b zo, dat in het punt x=1 de functie 10⋅x2+2⋅x+5
en a⋅x+b dezelfde waarde aannemen en dezelfde afgeleide hebben.


En de oplossing is:
Voor x groter dan 1 is de vergelijking
f(x)=22⋅x+−5.


Ik weet hier echt niet wat ze precies bedoelen en vroeger op het vwo had ik ook nooit zoiets gehad, het was altijd simpelweg een formule krijgen en daar moest je dan de afgeleide van bepalen.
Mijn vraag gaat dus niet zozeer over hoe je moet differentieren en wat de regels daarbij zijn, maar meer over wat er hier bedoeld wordt.


Bij voorbaat dank!


PS: het is een online cursus dus ik heb geen leraar aan wie ik het kan vragen.

Wat ze dus willen is dat je je constanten a en b zodanig kiest dat de functies f(x) = 10x^2 + 2x + 5 en ax+b naadloos op elkaar aansluiten. Even officiëler gezegd, dat er aan de continuïteits- èn differentieerbaarheidsvoorwaaden voldaan wordt op het punt P(1,17)

we hebben f(x) = 10x^2 + 2x + 5; dit geeft als afgeleide f '(x) = 20x + 2
we hebben ook f(x) = ax+b; dit geeft als afgeleide simpelweg f '(x) = a

Eerst gaan we aan de slag met de afgeleiden; we nemen de linkerlimiet van 20x + 2 voor x -> 1 => 20*1 + 2 = 22. Hieruit kun je direct concluderen dat de constante a in de functie f(x) = ax+b dus 22 moet zijn; after all, f '(x) = a = 22.

nu we weten dat a = 22, kunnen de oorspronkelijke functies onder handen nemen. We nemen wederom de linkerlimiet, dit keer van 10x^2 + 2x + 5 voor x -> 1 => f(x) = 17

nu pluggen we alles in a*x +b = y in.

a = 22 (je richtingscoëfficiënt die adhv je afgeleiden bepaald hebt)
x = 1 (dat is de x-coördinaat van het punt waar de functies naadloos op elkaar moeten aansluiten)
y = 22 (kan je direct berekenen door in f(x) de waarde 1 in te vullen)

22*1 + b = 17 => b = -5

[ Bericht 19% gewijzigd door VanishedEntity op 14-08-2011 21:01:41 ]

Maar de vraag doet toch een heleboel aannames? Waarom kan x > 1 niet gewoon een andere richtingscoëfficiënt hebben?

quote:

Op zondag 14 augustus 2011 20:39 schreef JohnSpek het volgende:
Maar de vraag doet toch een heleboel aannames? Waarom kan x > 1 niet gewoon een andere richtingscoëfficiënt hebben?

Er staat "differentieerbare functie". Deze samengestelde functie f(x) = 10x^2 + 2x + 5 voor x ≤ 1 EN f(x) = ax+b voor x>1 moet in het punt P(1, 17):

- zowel continu ( lim x↑1 f(x) = lim x↓1 f(x) )
- als differentieerbaar (lim x↑1 f '(x) = lim x↓1 f '(x) )

zijn.

[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 14-08-2011 21:01:29 ]

quote:

Op zondag 14 augustus 2011 20:39 schreef JohnSpek het volgende:
Maar de vraag doet toch een heleboel aannames? Waarom kan x > 1 niet gewoon een andere richtingscoëfficiënt hebben?

Nee, zoals VE al aangaf maar dan simpeler verwoord: de functie heeft dan in het punt x=1 een knak en is daar dan niet diff'baar. Verder moet je ervoor zorgen dat de functie na x=1 geen sprongetje maakt, want dan is hij niet meer continu en dus niet meer differentieerbaar (differentieerbaarheid impliceert continuïteit). Met die twee voorwaarden van gelijke afgeleide en gelijke functiewaarde in het punt 1 kan je dus a en b afleiden.

Je moet gewoon zorgen dat bestaat.

quote:

Op zondag 14 augustus 2011 20:56 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

- als differentieerbaar (lim x↑1 f '(x) = lim x↓1 f '(x) )

Je notatie is raar, maar je lijkt hier continu differentieerbaar te schrijven, en dat is een strengere eis.

quote:

Op zondag 14 augustus 2011 22:26 schreef GlowMouse het volgende:
Je moet gewoon zorgen dat bestaat.

En dat doe je door zowel de linkerlimiet als de rechterlimiet te berekenen en te verifiëren dat die 2 uitkomsten aan elkaar gelijk zijn.

quote:

Je notatie is raar, maar je lijkt hier continu differentieerbaar te schrijven, en dat is een strengere eis.

Ik weet niet wat jouw probleem is maar lim x↑a voor de linkerlimiet en lim x↓a voor de rechterlimiet zijn echt heel gebruikelijke notaties (pakt zn Wiskunde B examen en samenvattingen boekje er nog eens bij). En dr staan echt wel accenten bij de f-jes op de regel die de differentieerbaarheidseis vermeldt.

Oh, het is subscript. De 1 lijkt bij mij veel op een pijltje omhoog. Je eist nu dat de afgeleide continu is, en dat is meer dan differentieerbaarheid alleen; zie voor een voorbeeld http://en.wikipedia.org/w(...)rentiability_classes

quote:

Op zondag 14 augustus 2011 22:59 schreef GlowMouse het volgende:
Oh, het is subscript. De 1 lijkt bij mij veel op een pijltje omhoog. Je eist nu dat de afgeleide continu is, en dat is meer dan differentieerbaarheid alleen; zie voor een voorbeeld http://en.wikipedia.org/w(...)rentiability_classes

In het punt waar de functie van het ene voorschift in het andere voorschift overgaat (in dit geval x=1 => P(1,17) ) moet hij volgens de opgave zowel continu als differentieerbaar zijn. Wat de functievoorschriften in punten voor andere waarden van x en daarmee y doen is niet van belang.

quote:

Op zondag 14 augustus 2011 23:06 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

In het punt waar de functie van het ene voorschift in het andere voorschift overgaat (in dit geval x=1 => P(1,17) ) moet hij volgens de opgave zowel continu als differentieerbaar zijn. Wat de functievoorschriften in punten voor andere waarden van x en daarmee y doen is niet van belang.

Precies, maar de afgeleide zelf hoeft niet continu te zijn.

quote:

Op zondag 14 augustus 2011 23:13 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Precies, maar de afgeleide zelf hoeft niet continu te zijn.

Vandaar dat ik de eisen ook voor alleen x=1 geformuleerd heb .

Continuïteit hoeft niet op een domein te slaan, je hebt ook continuïteit in een punt. En een afgeleide hoeft niet continu te zijn in een punt om er te bestaan, zoals het voorbeeld op wikipedia aantoont.

Ik kom ergens niet uit, ik kan het wel beredeneren maar niet wiskundig oplossen:

a – 3 = 97 en a * 0,03 = 3 (die 3 heb ik zelf verzonnen, 3 kan je ook vervangen door bijvoorbeeld b)
Ik weet dan: 100 – 3 = 97, 100 x 0,03 = 3 en 100 – (100 x 0,03) = 97

Maar hoe kan ik dit wiskundig oplossen?

0,03 = (a – 97)/a --->
0,03a = (a – 97) en dan?

Moet dit via trail-and-error of is er wel een oplossing voor? Het gaat om een opgave uit de levensverzekeringswiskunde waarbij l_x-d_x=l_x+1 en l_x*q_x = d_x

[ Bericht 2% gewijzigd door dikkefriet op 16-08-2011 19:59:50 ]

Twee onafhankelijke vergelijkingen met 1 onbekende?
Die kan je gewoon apart oplossen, maar echt veel tussenstappen kan je niet opschrijven.
Ik snap nog niet precies waar je heen wil?

Zoiets?

1a) a - 3 = 97
1b) a - 3 + 3 = 97 + 3
1c) a + 0 = 100
1d) a = 100

2a) a * 0.03 = 3
2b) (a * 0.03) / 0.03 = 3 / 0.03
2c) a * (0.03 / 0.03) = 3 / (3/100) = (3*100) / 3 = 100
2d) a = 100

Sorry ik was een x vergeten te edditen in een a.

0,03 = (a – 97)/a --->
0,03a = (a – 97) en dan?

Ik kan zien dat a = 100, maar hoe kan je dit berekenen?

Argh, nu snap ik er zelf niets meer van.

Opnieuw: je weet l_x-d_x=l_x+1 en l_x*q_x = d_x.

Je weet l21 = 48979, q20=0.0601565. Vraag: berekend l20.

Ik kwam niet verder dan: l₂₀ - (l₂₀*0.0601565) = 48.979

[ Bericht 45% gewijzigd door dikkefriet op 16-08-2011 20:05:36 ]

quote:

Op dinsdag 16 augustus 2011 19:56 schreef dikkefriet het volgende:
Sorry ik was een x vergeten te edditen in een a.

0,03 = (a – 97)/a --->
0,03a = (a – 97) en dan?

Ik kan zien dat a = 100, maar hoe kan je dit berekenen?

Wat wil je nou? Heb je mijn post gezien?

0.03 = (a - 97)/a

0.03 = 1 - 97/a
-0.97 = - 97/a

a = -97/-0.97 = 100

Bedoel je dat?

Bedankt Nelis89, dat bedoel ik.

Hoe kan je van (a - 97) naar 1 - 97 gaan? Je haalt de haakjes weg en vervangt de a door een 1.

(a - 97)/a = = 1 - 97/a

Als je a – 3 = 97 hebt, doen jullie wel moeilijk

quote:

Op dinsdag 16 augustus 2011 20:34 schreef GlowMouse het volgende:
Als je a – 3 = 97 hebt, doen jullie wel moeilijk

Dat krijg je als je vage vragen stelt

Hoi kan iemand me laten zien hoe je de eigenwaarden van deze matrix efficient kunt vinden?

Ik moet op een karakteristieke vergelijking zien uit te komen en die dan oplossen.

[ Bericht 9% gewijzigd door Hondenbrokken op 19-08-2011 16:54:34 ]

Je zoekt drie getallen waarvan de som 6, en het product 8 is (spoor en determinant).

Noem de matrix A. Er geldt det(A-cI) = (4-c)((3-c)(-1-c)+3) - 1(2(-1-c)+6) - 3(2-2(3-c)) = -c³+6c²-12c+8. Één nulpunt wordt gegeven door c=2, en door (c-2) buiten haakjes te halen krijg je nog twee oplossingen c=2.

quote:

Op vrijdag 19 augustus 2011 16:55 schreef GlowMouse het volgende:
Je zoekt drie getallen waarvan de som 6, en het product 8 is (spoor en determinant).

Noem de matrix A. Er geldt det(A-cI) = (4-c)((3-c)(-1-c)+3) - 1(2(-1-c)+6) - 3(2-2(3-c)) = -c³+6c²-12c+8. Één nulpunt wordt gegeven door c=2, en door (c-2) buiten haakjes te halen krijg je nog twee oplossingen c=2.

Bij mij gaat het steeds fout als ik die determinant probeer te vereenvoudigen.