[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 22 juli 2011 16:26 schreef thenxero het volgende:

[..]

Je hebt gelijk. Maar machtsverheffen kan je zien als vermenigvuldigen en dan staat er gewoon -x*x. Als je -2x² hebt betekent dit natuurlijk niet (-2x)² maar -2(x²).

ik haalde het inderdaad door elkaar met -2 invullen bij x², dan zou je dus (-2)² moeten doen

niemand een antwoord op mijn vraag?

quote:

Op woensdag 20 juli 2011 17:15 schreef DuTank het volgende:
Hoe ziet, bij ANOVA (A1-A2 en B1-B2, een tabel en/of grafiek eruit met:
a) een interactie effect van A, maar geen hoofd-effect van B
b) een interactie effect, hoofd-effect van A, maar geen hoofd-effect van B
c) een interactie effect, maar geen hoofd-effect

(of zijn vraag a en b eigenlijk hetzelfde?)

Nee, ik heb geen verstand van anova. Wel een vraag over topologie:

Zij (X,T) een lokaal compacte topologische Hausdorffruimte. Ik wil bewijzen dat voor iedere x in X de collectie van alle compacte omgevingen van x een basis vormt van omgevingen van x. Dat wil zeggen, voor iedere open omgeving U van x bestaat er een compacte omgeving K van x zodat K een deelverzameling is van U.

Poging tot het bewijs:
Zij x een willekeurig punt in X. Neem een willekeurige vaste open omgeving U van x. Omdat (X,T) lokaal compact is bestaat er een compacte omgeving K van x. Als K een deelverzameling is van U zijn we klaar, dus stel dat het niet zo is... en dan loop ik vast.

(als ik pn of fn zeg bedoel ik de n'de afgeleide functie van p of f)

Ik ben bezig met het approximeren van een functie f(x) met behulp van Taylor's formula.

Ik begrijp niet zo goed waarom ik de differentieerbare functie f(x) kan benaderen rond x = a door een functie
p(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)^2 / 2! .... fn(a)*(x-a)^n / n! etc

Ik begrijp dat door p(x) zo op te stellen dat er uit volgt: p(a) = f(a) en p'(a) = f'(a) ...fn(a) = pn(a) en dat dus zowel de functie waarde als de afgeleide(en tweede afgeleide...etc) gelijk zijn van functie f en p bij x = a.

Hoe kan het alleen dat deze functie zelfs een benadering (of zelfs exacte waarde als n tot de oneindigheid is) kan vinden door eerst te kijken wat de waarde en de afgeleide van f'(a), f"(a), f'''(a)....fn(a)?
Je weet tenslotte alleen dat de afgeleide f(x) = p(x) op x = a, maar mysterieus vormt de functie p(x) dan naar f(x) toe als je bij de taylor formule n -> oneindig.

Als ik het probeer te visualiseren kom ik vast te zitten:

Stel ik heb de fiets functie f(x) = 5x^2 , waarbij x = tijd en f(x) = afstand.
f'(x) = 10x
f''(x) = 10
Deze functie is dus 2 keer differentieerbaar.
Ik benader rond x = 0 dus volgens Taylor's formule

p(x) = 0 + 10*0*(x-0)^2 + 10*(x-0)^2/2!
= 5*(x-0)^2
= 5x^2
Dezelfde functie weer, perfecte benadering(dus eigenlijk geen benadering meer).

Stel ik vul in f(x) in x = 2
f(2) = 5*2^2 = 20
Ik weet dus mijn afstand(20) die ik heb gefietst op tijdstip 2.

Door f(x) te benaderen door p(x) zeg ik eigenlijk dat ik mijn gefietste afstand ook kan benaderen door:

0 km heb gefietst op tijdstip 0 + een snelheid heb van 0 op tijdstip 0 + een groei in mijn snelheid van 10....
Nu kom ik vast te zitten en weet niet meer hoe ik het mij moet voorstellen..

[ Bericht 1% gewijzigd door JohnSpek op 23-07-2011 22:42:05 ]

De afstand die je aflegt wordt in de natuurkunde vaak opgeschreven als:

s = s₀ + v₀ t + a t² / 2,

waarbij s₀ de beginafstand is, v₀ de beginsnelheid en a de versnelling. Merk de overeenkomsten op met de Taylorbenadering!

Het is trouwens niet zo dat iedere (differentieerbare) functie een Taylorbenadering heeft. Dit geldt alleen voor de zogenaamde analytische functies. Dat zijn per definitie functies die te schrijven zijn als een oneindige som over n van a_n (x-b)ⁿ. Als die som uniform convergeert dan mag je differentiëren binnen het somteken. Als je n keer differentieert dan vindt je voor a_n precies de coëfficiënt van de Taylorreeks.

[ Bericht 0% gewijzigd door thenxero op 23-07-2011 22:45:06 ]

Kan iemand mij het volgende uitleggen?

De vraag luidt:
Voor een hoek a in het interval [0,π/2) is gegeven dat cos(a)=7/9.
Bepaal cos(7/2⋅π+a) exact.

Antwoord is:
cos(7/2⋅π + a) = cos(3/2⋅π + a) en dat is weer gelijk aan sin(a). (en sin(a) is weer makkelijk te berekenen dmv sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1).

Wat ik niet begrijp:
Maar ik begrijp niet waarom cos(3/2⋅π + a) gelijk is aan sin(a). Ik zie wel in dat zodra je een eenheidscirkel tekent en af gaat op cos(3/2⋅π + a), dat je dan 'onder' in de cirkel komt te zitten (bijv. een klok met de beide wijzers op de 6).

Maar zou cos(3/2⋅π + a) dan niet -sin(a) (dus negatief) moeten zijn???
Of heeft het wat te maken met het interval?

quote:

Op dinsdag 26 juli 2011 01:00 schreef NonameNogame het volgende:
Kan iemand mij het volgende uitleggen?

De vraag luidt:
Voor een hoek a in het interval [0,π/2) is gegeven dat cos(a)=7/9.
Bepaal cos(7/2⋅π+a) exact.

Antwoord is:
cos(7/2⋅π + a) = cos(3/2⋅π + a) en dat is weer gelijk aan sin(a). (en sin(a) is weer makkelijk te berekenen dmv sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1).

Wat ik niet begrijp:
Maar ik begrijp niet waarom cos(3/2⋅π + a) gelijk is aan sin(a). Ik zie wel in dat zodra je een eenheidscirkel tekent en af gaat op cos(3/2⋅π + a), dat je dan 'onder' in de cirkel komt te zitten (bijv. een klok met de beide wijzers op de 6).

Maar zou cos(3/2⋅π + a) dan niet -sin(a) (dus negatief) moeten zijn???
Of heeft het wat te maken met het interval?

Bekijk het eens als volgt. De cosinus en de sinus zijn periodieke functies met een periode 2π. Dat betekent dus dat:

(1) cos(3/2∙π + α) = cos (α - 1/2∙π)

Je weet ook dat de cosinusfunctie een even functie is, i.e. cos(-θ) = cos θ, en dus:

(2) cos (α - 1/2∙π) = cos (1/2∙π - α)

Nu is de cosinus van een hoek gelijk aan de sinus van het complement (daar komt ook de naam cosinus vandaan), dus:

(3) cos (1/2∙π - α) = sin α

Uit (1), (2) en (3) volgt uiteraard dat cos(3/2∙π + α) = sin α

Met een tekening is dit ook te zien aan de hand van de eenheidscirkel. Kies een punt op de eenheidscirkel boven de x-as, en noem de hoek van de radius naar dat punt met de positieve x-as α, dan is de sinus van die hoek positief, de sinus van α is immers per definitie de y-coördinaat van het beeldpunt van (1;0) bij een rotatie over een hoek α om de oorsprong. Doe je er nu 3/2∙π bij, dan kom je uit op een punt op de eenheidscirkel in de rechter helft van het vlak, aangezien 3/2∙π rad correspondeert met 3/4 van de omtrek van de eenheidscirkel. Ik denk dat je over het hoofd ziet dat de cosinus van een hoek (c.q. rotatie) per definitie de x-coördinaat is van het beeldpunt van (1;0) bij een rotatie om de oorsprong. En de x-coördinaat van een punt rechts van de y-as is positief. Ergo, als sin α positief is, dan moet cos(α + 3/2∙π) ook positief zijn, en omgekeerd. Je kunt dus ook zonder herleidingen meteen inzien dat cos(α + 3/2π) niet gelijk kan zijn aan -sin α.

quote:

Op vrijdag 22 juli 2011 16:16 schreef Djoezt het volgende:

[..]

Inderdaad moet je eerst vermenigvuldigen, maar hier vermenigvuldig je niet - hier verhef je een macht (machtsverhef je?)! Dat heeft een nog hogere prioriteit.

Wat betreft haakjes om negatieve getallen: alleen doen als je een negatief getal invult voor x. Hier stond de min al gewoon in de formule, dus moet je de hele x² als een negatief getal zien (en dus niet alleen x).

Oke bedankt voor de toevoeging.

Ik heb nog een simpel vraagje.

In mijn boek staat het volgende: Afspraak in plaats van x ligt tussen 1 en 5 schrijven we 1<x<5.
Maar ik snap de logica daar achter niet als < groter dan betekend zou er staan 1 is groter dan x en x is groter dan 5 wat natuurlijk kan.

Ik snap dat dit misschien niet zon belangrijke vraag is maar ik wil graag weten hoe dit zit want dan kan ik het beter onthouden zonder domme fouten te maken.

moet ik het misschien van links naar rechts lezen, of het vanuit x naar links en rechts lezen?

alvast bedankt

quote:

Op dinsdag 26 juli 2011 19:15 schreef M.rak het volgende:

[..]
Als we nu kijken naar 1<x<5, zien we dat er eigenlijk twee ongelijkheden staan, namelijk 1<x en x<5 (dit is eigenlijk de belangrijkste stap, zorg dat je deze goed begrijpt, dan is de rest relatief eenvoudig denk ik).

Helder bedankt voor de goede uitleg.

quote:

Op dinsdag 26 juli 2011 19:15 schreef M.rak het volgende:

[..]

Onbelangrijke vragen zijn er trouwens niet, het is belangrijk dat je alles wat je doet goed begrijpt bij wiskunde .

Ja inderdaad ik heb ook voordat ik aan deze theorie begon (kwadratische ongelijkheden) eerst de stof ervoor nog een keer doorgekeken zodat ik alles tot in de puntjes snap. Dan vergeet je het ook niet meer en begin ik wiskunde steeds leuker te vinden.

quote:

Op dinsdag 26 juli 2011 20:15 schreef hijdiegaapt het volgende:

[..]

Helder bedankt voor de goede uitleg.

[..]

Ja inderdaad ik heb ook voordat ik aan deze theorie begon (kwadratische ongelijkheden) eerst de stof ervoor nog een keer doorgekeken zodat ik alles tot in de puntjes snap. Dan vergeet je het ook niet meer en begin ik wiskunde steeds leuker te vinden.

Om < en > niet door elkaar te halen: de "grote" kant van het teken geeft aan wat het grootste getal is.

quote:

Op zaterdag 23 juli 2011 15:32 schreef thenxero het volgende:
Nee, ik heb geen verstand van anova. Wel een vraag over topologie:

Zij (X,T) een lokaal compacte topologische Hausdorffruimte. Ik wil bewijzen dat voor iedere x in X de collectie van alle compacte omgevingen van x een basis vormt van omgevingen van x. Dat wil zeggen, voor iedere open omgeving U van x bestaat er een compacte omgeving K van x zodat K een deelverzameling is van U.

Poging tot het bewijs:
Zij x een willekeurig punt in X. Neem een willekeurige vaste open omgeving U van x. Omdat (X,T) lokaal compact is bestaat er een compacte omgeving K van x. Als K een deelverzameling is van U zijn we klaar, dus stel dat het niet zo is... en dan loop ik vast.

Riparius een idee?

quote:

Op zaterdag 23 juli 2011 15:32 schreef thenxero het volgende:
Nee, ik heb geen verstand van anova. Wel een vraag over topologie:

Zij (X,T) een lokaal compacte topologische Hausdorffruimte. Ik wil bewijzen dat voor iedere x in X de collectie van alle compacte omgevingen van x een basis vormt van omgevingen van x. Dat wil zeggen, voor iedere open omgeving U van x bestaat er een compacte omgeving K van x zodat K een deelverzameling is van U.

Poging tot het bewijs:
Zij x een willekeurig punt in X. Neem een willekeurige vaste open omgeving U van x. Omdat (X,T) lokaal compact is bestaat er een compacte omgeving K van x. Als K een deelverzameling is van U zijn we klaar, dus stel dat het niet zo is... en dan loop ik vast.

Toon eerst maar eens aan dat elke compacte omgeving van x in de deelruimte K ook een compacte omgeving van x in de hele ruimte X is. Als je dat eenmaal hebt, kun je X door K vervangen en dus zonder verlies van algemeenheid aannemen dat X compact is.

Zij L compact in K. Stel dat L niet compact is in X. Dan bestaat er een open cover C in X waarvan geen eindige subcover bestaat. De doorsnede van C en K is een open cover van L in de geïnduceerde topologie op K. Dat we uit C geen eindige subcover kunnen halen in X impliceert dat we ook geen eindige subcover uit C doorsneden met K kunnen halen. Dus dan is L niet compact in K, tegenspraak.

Dat toont alleen compactheid aan, maar nog niet dat het een omgeving is.

Laat L dan een compacte omgeving van x in K zijn, bewijs is hetzelfde.

Nee want open delen van K hoeven niet open te zijn in X.

Waar in het bewijs gaat het dan fout? Mijns inziens heb ik precies aangetoond wat je zei.

Je weet alleen dat er een open deel U in X, om x, bestaat zdd de doorsnede van U met K in L bevat is. U zelf hoeft niet in L bevat te zijn.

Ja, nu haal je er een U bij maar ik had ook alleen maar bewezen wat je zei dat ik eerst moest bewijzen, ik ben natuurlijk nog niet klaar. Ik weet niet hoe ik verder moet en wat ik eraan heb dat als L compact is in K dat ie dan ook compact is in X.

Kan je een wat duidelijkere hint geven? Dit schiet niet echt op.

Weet je wel wat het begrip "compacte omgeving" inhoudt?

quote:

Op woensdag 27 juli 2011 18:06 schreef thabit het volgende:
Weet je wel wat het begrip "compacte omgeving" inhoudt?

Een compacte omgeving van x is een verzameling die x bevat, compact is, en een open deelverzameling heeft die ook x bevat.

quote:

Op woensdag 27 juli 2011 18:16 schreef thenxero het volgende:

[..]

Een compacte omgeving van x is een verzameling die x bevat, compact is, en een open deelverzameling heeft die ook x bevat.

Juist. Dus als iets een omgeving is in K, dan hoeft het nog niet per se een omgeving te zijn in X (dat is het wel, maar dat moet je aantonen door te gebruiken dat K zelf ook weer een omgeving is).

quote:

Op woensdag 27 juli 2011 18:19 schreef thabit het volgende:

[..]

Juist. Dus als iets een omgeving is in K, dan hoeft het nog niet per se een omgeving te zijn in X (dat is het wel, maar dat moet je aantonen door te gebruiken dat K zelf ook weer een omgeving is).

Ik snap wat je zegt maar ik weet niet hoe het moet. Je hebt een open omgeving van x in L (open t.o.v. K) en moet laten zien dat ie open is t.o.v. X.

Maar stel dat ik dat bewezen heb, wat heb je daar dan aan? Ik ben er al zeker 1-2 uur mee bezig geweest en het lukt me gewoon niet. Het is vast niet moeilijk maar ik loop gewoon steeds vast.

[ Bericht 3% gewijzigd door thenxero op 27-07-2011 19:16:02 ]

quote:

Op woensdag 27 juli 2011 19:01 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik snap wat je zegt maar ik weet niet hoe het moet. Je hebt een open omgeving van x in L (open t.o.v. K) en moet laten zien dat ie open is t.o.v. X.

Maar stel dat ik dat bewezen heb, wat heb je daar dan aan?

Wat je daaraan hebt, is dat je je volledig tot K kan beperken en het probleem op die manier gereduceerd hebt tot compacte X.

Waarom helpt dat?