[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 11 mei 2011 20:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, want je geeft hierboven zelf aan dat je het verschil bepaalt van de integralen F(1) en F(1/2). Uitrekenen als één dubbelintegraal gaat wel met poolcoördinaten, maar dat was niet de bedoeling van Siddartha.

_{Nee, ik zeg dat je eerst een formule voor de functie F kunt bepalen (eenmaal dubbelintegraal uitrekenen) en vervolgens F(1)-F(1/2).}

quote:

Hoe kom je daar nu bij? Je weet als wiskundige toch dat je geen ongefundeerde aannames moet doen?

_{Nvm, poging tot geintje.}

quote:

Op donderdag 12 mei 2011 00:21 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

_{Nee, ik zeg dat je eerst een formule voor de functie F kunt bepalen (eenmaal dubbelintegraal uitrekenen) en vervolgens F(1)-F(1/2).}

Ah, ik zie het al, dan bedoel je met F(r) dus dit, zodat F(r) = r⁴/8 en dus F(1) - F(1/2) = 15/128.

quote:

Op donderdag 12 mei 2011 00:21 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

_{Nee, ik zeg dat je eerst een formule voor de functie F kunt bepalen (eenmaal dubbelintegraal uitrekenen) en vervolgens F(1)-F(1/2).}

Dan vraag ik me wel af hoe je de verschillende gebieden daarin kan verwerken zonder stiekem toch met twee dubbele integralen te werken? Want de parametrisering van de dubbele integraal is verschillend, als je bijvoorbeeld x in y gaat uitdrukken, dan heb je voor het gebied x²+y²<=2 natuurlijk dat x=W(1-y²), maar voor het andere gebied heb je een andere functie, namelijk x=W(1/4-y²).
Dus daar zal je onderscheid in moeten maken ín de dubbele integraal.

quote:

Op donderdag 12 mei 2011 01:05 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Dan vraag ik me wel af hoe je de verschillende gebieden daarin kan verwerken zonder stiekem toch met twee dubbele integralen te werken?

Zie hierboven. Was iets waar ik zelf eerst ook niet aan gedacht had.

Even een (waarschijnlijk onnozel) vraagje. Ik ben bezig met meetkunde en nu gebruiken ze twee symbolen in het antwoordenboek die ik niet kan plaatsen:

Wat betekenen deze precies? Ik heb wel een vermoeden, maar kan er geen duidelijkheid over krijgen via Wikipedia/Google.

Het linkersymbool betekent "loodrecht" en het rechtersymbool betekent "evenwijdig".

quote:

Op donderdag 12 mei 2011 13:26 schreef thabit het volgende:
Het linkersymbool betekent "loodrecht" en het rechtersymbool betekent "evenwijdig".

Aah zó. Bedankt!

quote:

Op donderdag 12 mei 2011 13:25 schreef Pipo1234 het volgende:
Even een (waarschijnlijk onnozel) vraagje. Ik ben bezig met meetkunde en nu gebruiken ze twee symbolen in het antwoordenboek die ik niet kan plaatsen: [ afbeelding ]

Wat betekenen deze precies? Ik heb wel een vermoeden, maar kan er geen duidelijkheid over krijgen via Wikipedia/Google.

Wij hebben het linkersymbool ook geleerd als 'bottom' of false (in de boleaanse algebra).

Hoe kan je het verschil uitdrukken tussen twee vergelijkingen die allebei oneindig zijn, maar een orde (ik weet niet of dat de goede naam is, al die termen zijn een beetje weggezakt) verschillen? Bijvoorbeeld: Als lijnen dezelfde formule hebben, zijn er oneindig veel punten waarop de lijnen gelijk zijn. Als twee ruimtelijke figuren 'dezelfde formule hebben', hebben ze ook oneindig punten gelijk, maar nu zijn er als het ware twee parameters die allebei oneindig waarden aan kunnen nemen. Ik heb het tot nu toe beantwoordt als R (voor het maximaal aantal punten dat twee lijnen gemeen hebben) en R² voor het aantal punten dat twee bollen maximaal gelijk kunnen hebben (R is natuurlijk het symbool voor de reële getallen). Dit lijkt me goed, maar ik wou het nog even checken .

Ik heb ook dingen geleerd over aleph 0 en aleph 1 maar dat moest je dacht ik alleen gebruiken bij het het verschil tussen natuurlijke getallen en reële getallen.

R en R² zijn als verzameling even groot. Je zal een extra structuur moeten opleggen om te kunnen zeggen dat R² groter is dan R. Je kan in dit geval bijvoorbeeld de structuur van een vectorruimte gebruiken; in die zin heeft R dimensie 1 en R² heeft dimensie 2.

quote:

Op vrijdag 13 mei 2011 18:20 schreef thabit het volgende:
R en R² zijn als verzameling even groot. Je zal een extra structuur moeten opleggen om te kunnen zeggen dat R² groter is dan R. Je kan in dit geval bijvoorbeeld de structuur van een vectorruimte gebruiken; in die zin heeft R dimensie 1 en R² heeft dimensie 2.

Ok, maar even concreet, hoe zou je de volgende vraag correct moeten beantwoorden, met onderscheid tussen het geval waar de twee 'planes' (de punten waarvoor geldt ax+by+cz=d voor een zeker a, b, c, d uit R) dezelfde waarden voor a b c en d hebben, en het geval waarin de planes slechts een lijn 'delen':
In R³, how many points do two planes have in common? (Give all possible cases)

Kan je dan niet een bijectie van de oplossingen maken naar R en R²?

Of de vergelijking van oplossingen (een lijn of het vlak) in vectoren weergeven en dan over dimensies beginnen?

quote:

Op vrijdag 13 mei 2011 18:33 schreef Siddartha het volgende:
Kan je dan niet een bijectie van de oplossingen maken naar R en R²?

Of de vergelijking van oplossingen (een lijn of het vlak) in vectoren weergeven en dan over dimensies beginnen?

Dat zou kunnen, ik denk overigens dat de bedoeling is om gewoon met geometrische interpretaties te komen, dus met punten, lijnen of oppervlakten.

Ik vind het wel vreemd overigens: Je kan toch geen bijectie maken van R naar R²? Dan zijn R en R² toch niet gelijkmachtig?

[ Bericht 38% gewijzigd door Siddartha op 13-05-2011 18:55:57 ]

Ja, je kan wel een bijectie maken van R naar R². Je kan een reëel getal decimaal uitschrijven en dan om en om cijfers kiezen om er 2 reële getallen van te maken (modulo wat details).

quote:

Op vrijdag 13 mei 2011 18:25 schreef minibeer het volgende:

[..]

Ok, maar even concreet, hoe zou je de volgende vraag correct moeten beantwoorden, met onderscheid tussen het geval waar de twee 'planes' (de punten waarvoor geldt ax+by+cz=d voor een zeker a, b, c, d uit R) dezelfde waarden voor a b c en d hebben, en het geval waarin de planes slechts een lijn 'delen':
In R³, how many points do two planes have in common? (Give all possible cases)

De bedoeling is denk ik dat je gewoon zegt dat het er oneindig veel zijn en dat de twee mogelijkheden zijn dat de twee vlakken ofwel gelijk zijn ofwel elkaar in een lijn snijden.

quote:

Op vrijdag 13 mei 2011 18:52 schreef thabit het volgende:
Ja, je kan wel een bijectie maken van R naar R². Je kan een reëel getal decimaal uitschrijven en dan om en om cijfers kiezen om er 2 reële getallen van te maken (modulo wat details).

Oh. Bedankt, nu snap ik het

Als ik deze moet differentieren:



Krijg ik dan als antwoord:



?

Ik zie het ja, er zit een foutje in. Ik kan niet zo goed met die codes werken. De vraag is overigens wel goed getypt

quote:

Op zaterdag 14 mei 2011 11:05 schreef Self-Catering het volgende:
Als ik deze moet differentieren:

[ afbeelding ]

Krijg ik dan als antwoord:

[ afbeelding ]

?

quote:

Op zaterdag 14 mei 2011 11:05 schreef Self-Catering het volgende:
Als ik deze moet differentieren:

[ afbeelding ]

Krijg ik dan als antwoord:

[ afbeelding ]

?

Produktregel gebruiken:

F'(x) = 1*sqrt(x) + (x+1)*1/(2*sqrt(x)) = (2*x)/(2*sqrt(x)) + (x+1)*1/(2*sqrt(x)) = (3*x+1)/(2*sqrt(x))

(laatste twee stappen optioneel).

Ik moet volgens mijn opgave algebraïsch aan het antwoord van een aantal formules komen met betrekking tot sinus en cosinus. Nu zet ik alleen vraagtekens bij mijn methode... Is het zo dat jij bij dergelijke formules de daadwerkelijk omrekening van radiaal naar sinus/cosinus en visa versa hoofdzakelijk met de rekenmachine gedaan kan worden? Ik versta zelf namelijk onder algebraïsch dat het zoveel mogelijk zonder rekenmachine gedaan dient te worden.

Nog even een andere vraag over dit onderwerp: In mijn boek staat dat de oplossing van van de "standaardvergelijking" cos x = cos a twee oplossingen heeft, namelijk x = a en x = -a. Nu snap ik dat op zich wel, alleen is er bij één vraag een vreemd antwoord. Daar is het antwoord namelijk 5/6pi en 1 1/6 pi, wat ook logisch is, alleen is 1 1/6 pi niet -5/6 pi, terwijl dat wel hetzelfde antwoord geeft. (Dit gaat trouwens over de symmetrie van sinus, enzovoorts.)

quote:

Op zaterdag 14 mei 2011 15:02 schreef Pipo1234 het volgende:
Ik moet volgens mijn opgave algebraïsch aan het antwoord van een aantal formules komen met betrekking tot sinus en cosinus. Nu zet ik alleen vraagtekens bij mijn methode... Is het zo dat jij bij dergelijke formules de daadwerkelijk omrekening van radiaal naar sinus/cosinus en visa versa hoofdzakelijk met de rekenmachine gedaan kan worden? Ik versta zelf namelijk onder algebraïsch dat het zoveel mogelijk zonder rekenmachine gedaan dient te worden.

Nog even een andere vraag over dit onderwerp: In mijn boek staat dat de oplossing van van de "standaardvergelijking" cos x = cos a twee oplossingen heeft, namelijk x = a en x = -a. Nu snap ik dat op zich wel, alleen is er bij één vraag een vreemd antwoord. Daar is het antwoord namelijk 5/6pi en 1 1/6 pi, wat ook logisch is, alleen is 1 1/6 pi niet -5/6 pi, terwijl dat wel hetzelfde antwoord geeft. (Dit gaat trouwens over de symmetrie van sinus, enzovoorts.)

1. Algebraïsch = zonder rekenmachine. Wat bedoel je precies met omrekenen tussen radialen en sinus/cosinussen?

2. Oplossingen van cos x = cos a zijn inderdaad x=a en x=-a. Echter, omdat de cosinus 2pi - periodiek is, kan je bij de oplossing een willekeurig veelvoud van 2pi optellen en dan heb je weer een oplossing. Dus x=-a en x=a zijn nog lang niet alle oplossingen. Alle oplossingen worden gegeven door:
(1) x = a + 2*k*pi;
(2) x = -a + 2*k*pi,
waarbij k een willekeurig geheel getal is. Dit beantwoord ook direct je volgende vraag, denk daar maar even over na.

Note: Ik denk dat ze het in je boek hebben over alle oplossingen in het interval [0,2pi]

quote:

Op zaterdag 14 mei 2011 15:02 schreef Pipo1234 het volgende:
Ik moet volgens mijn opgave algebraïsch aan het antwoord van een aantal formules komen met betrekking tot sinus en cosinus. Nu zet ik alleen vraagtekens bij mijn methode... Is het zo dat jij bij dergelijke formules de daadwerkelijk omrekening van radiaal naar sinus/cosinus en visa versa hoofdzakelijk met de rekenmachine gedaan kan worden? Ik versta zelf namelijk onder algebraïsch dat het zoveel mogelijk zonder rekenmachine gedaan dient te worden.

Je vraag is niet echt duidelijk. De rekenmachine gebruik je uitsluitend ter vervanging van papieren goniometrische tafels (ja, zo ging dat vroeger zonder rekenmachines). Als je dus een vraagstuk oplost (uitrekent) en je hebt (bijvoorbeeld) een benaderde waarde van de sinus (of cosinus of tangens) van 20 graden nodig, dan gebruik je daarvoor de rekenmachine.

Er zijn echter een aantal standaardhoeken (0, 30, 45, 60 en 90 graden) waarvan je de exacte waarde van de sinus en cosinus uit het blote hoofd moet kennen. Daar is overigens een eenvoudig ezelsbruggetje voor: voor de sinus is dit de helft van de vierkantswortel uit resp. 0, 1, 2, 3 en 4 en voor de cosinus hetzelfde rijtje in omgekeerde volgorde.

Bij herleidingen van goniometrische formules en identiteiten gebruik je uiteraard geen rekenmachine.

quote:

Nog even een andere vraag over dit onderwerp: In mijn boek staat dat de oplossing van van de "standaardvergelijking" cos x = cos a twee oplossingen heeft, namelijk x = a en x = -a. Nu snap ik dat op zich wel, alleen is er bij één vraag een vreemd antwoord.

Of je het echt begrijpt betwijfel ik, want wat je boek beweert is in zijn algemeenheid niet juist. De cosinus is immers een periodieke functie met periode 2π, dus er zijn oneindig veel oplossingen als je R als domein neemt.

quote:

Daar is het antwoord namelijk 5/6pi en 1 1/6 pi, wat ook logisch is, alleen is 1 1/6 pi niet -5/6 pi, terwijl dat wel hetzelfde antwoord geeft. (Dit gaat trouwens over de symmetrie van sinus, enzovoorts.)

Dit is nu het gevolg van die periodiciteit. Ik neem aan dat je vertrouwd bent met de definities van sinus en cosinus aan de hand van de eenheidscirkel? Welnu, een rotatie van het uitgangspunt (1;0) om de oorsprong over een hoek van (7/6)∙π radialen levert hetzelfde beeldpunt op als een rotatie over een hoek van -(5/6)∙π radialen. Maak even een schetsje van de eenheidscirkel in een cartesisch assenstelsel om dit gemakkelijk te zien. Aangezien de cosinus en de sinus per definitie de x- resp. de y-coördinaat zijn van het beeldpunt van (1;0) bij rotatie over een willekeurige hoek, is het duidelijk dat (7/6)∙π en -(5/6)∙π dezelfde cosinus én dezelfde sinus hebben.

Vanwege het feit dat de eenheidscirkel een omtrek heeft van 2π en je dus met een rotatie over een hoek van 2π radialen hetzij in positieve zin (tegen de wijzers van de klok in) hetzij in negatieve zin (met de wijzers van de klok mee) precies eenmaal rond bent geweest geldt dus voor elke willekeurige α (in radialen) en voor elk geheel getal k:

cos(α + 2∙k∙π) = cos α en sin(α + 2∙k∙π) = sin α

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2011 16:49:58 ]