quote:Ik ben bezig met oefenen voor me wiskunde B examens en loop vast op het volgende:
In het correctie voorschrift staat dat je van "f'(x)=2cos x ⋅ (1+ sin x) + 2sin x ⋅cos x" dit "f'(x)=2cos x + 4cos x ⋅sin x" kan maken. Alleen ik weet niet hoe???
a(b+c) = ab + acquote:Ja, dan krijg ik f'(x)=2cos x * 2cos x * sin x + 2sin x * cos x
En dat kan je ook schrijven als f'(x)=4cos x * sin x + 2sin x * cos x
En nu?
GlowMouse heeft het antwoord niet binnen een minuut (en ik ook niet), maar het lijkt me dat je opdeling niets oplost, immers binnen D1 is je functie ook niet continu. Feitelijk moet je alleen integreren over een gebied dat uit een kwart van een cirkelring in het eerste kwadrant bestaat, omdat de functiewaarde daarbuiten 0 is. Gebruik dus poolcoördinaten, dan heb je ½ ≤ r ≤ 1 en 0 ≤ θ ≤ π/2.quote:Op dinsdag 10 mei 2011 14:16 schreef Siddartha het volgende:
In dat geval:
D=[0,1]x[0,1]
f(x,y)=xy voor 1/4<=x2+y2<=1
f(x,y)=0 anders.
Mijn antwoord is 9/64
Ik neem aan dat de bedoeling is om D in twee gebieden op te delen zodat f binnen die gebieden continu is en je de integralen van f binnen die gebieden bij elkaar kan optellen?
Als gebieden heb ik:
D1: [0,1/2] x[0,1/2]
D2: [1/2,1]x[1/2,1]
Nee, zo werkt het niet, het gebied waarin je functiewaarde niet 0 is wordt niet begrensd door louter rechte lijnstukken. Maak maar eens een tekening.quote:Op dinsdag 10 mei 2011 14:43 schreef Siddartha het volgende:
Poolcoördinaten staan pas volgende week op het programma, maar moet het gebied niet simpelweg :
D1: [0,W(1/2)]x[0,W(1/2)] (Met W als wortel)
D2: [W(1/2,1]x[W(1/2),1]
Zo geldt f(x,y)= 0 in voor alle x,y in gebied D1 en
f(x,y)=xy voor alle x,y in gebied D2.
Dat het eerste gebied continu en begrensd is, is duidelijk.quote:Op dinsdag 10 mei 2011 14:47 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, zo werkt het niet, het gebied waarin je functiewaarde niet 0 is wordt niet begrensd door louter rechte lijnstukken. Maar maar eens een tekening.
In welk deel zit (0,1) nou?quote:Op dinsdag 10 mei 2011 14:56 schreef Siddartha het volgende:
[..]
Aangezien ik D in twee disjuncte gebieden heb opgedeeld, waarin f integreerbaar is, kan ik ze apart uitrekenen en uiteindelijk optellen.
Dat wel, maar dat is het punt niet, want je zegt hierboven dat je het gebied met 0 ≤ x ≤ 1 en 0 ≤ y ≤ 1 wil opdelen in twee deelgebieden zodanig dat f(x,y) continu is binnen elk deelgebied. Maar je doet niet wat je zegt te doen.quote:Op dinsdag 10 mei 2011 14:56 schreef Siddartha het volgende:
[..]
[quote]
Dat het eerste gebied continu en begrensd is, is duidelijk.
Maar het tweede gebied toch ook?
Nee, dat laatste is niet zo.quote:0<=f(x,y)<= 1 voor alle x,y in dat gebied, dus f is begrensd.
f is continu (duidelijk).
Nee, f(x,y) is wel integreerbaar over je gebied D, maar niet continu over D.quote:Dus f is integreerbaar in dat gebied.
Ga hier nog maar eens goed over nadenken.quote:Aangezien ik D in twee disjuncte gebieden heb opgedeeld, waarin f integreerbaar is, kan ik ze apart uitrekenen en uiteindelijk optellen.
Dit is inderdaad het idee, de integraal van f(x,y) over E is gelijk aan die over D omdat de functiewaarde in het deel van D dat geen deel uitmaakt van E gelijk is aan nul en dus geen bijdrage levert aan de integraal. Maar simpel is anders als je geen poolcoördinaten mag of wil gebruiken. Je moet dan E alsnog opsplitsen.quote:Op dinsdag 10 mei 2011 15:13 schreef Siddartha het volgende:
Ok, ik snap dat het niet klopt wat ik doe (goed voorbeeld Glowmouse!).
Laat ik een stapje terug nemen:
Kan ik niet binnen D een gebied nemen, namelijk
E:= {(x,y)in R2| 1/4<=x2+y2<=1}
Dan is f binnen E begrensd en continu, terwijl E ook x/y-simpel is.
Dat kan inderdaad ook. Wat ik hierboven suggereer, even snel met Wolfram Alpha uitgerekend, is dit vermeerderd met dit, wat dus 3/64 + 9/128 = 15/128 oplevert.quote:Op woensdag 11 mei 2011 02:19 schreef keesjeislief het volgende:
Of F(1)-F(1/2) voor F(r) de integraal van (x,y) -> xy over {(x,y) | x \geq 0, y \geq 0, x^2+y^2 \leq r^2} = {(x,y) | x \in [0,r], y \in [0,\sqrt{r^2-x^2}]}.
In dat opzicht heb ik dan iig de potentie wiskundige te wordenquote:
Nee, met mijn methode hoef je maar een dubbelintegraal uit te rekenen. .quote:Op woensdag 11 mei 2011 06:01 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat kan inderdaad ook. Wat ik hierboven suggereer, even snel met Wolfram Alpha uitgerekend, is dit vermeerderd met dit, wat dus 3/64 + 9/128 = 15/128 oplevert.
Wat jij doet is dit verminderd met dit, wat dus 1/8 - 1/128 = 15/128 oplevert.
Veel verschil maakt het niet, want in beide gevallen moet je twee dubbelintegralen uitrekenen. Mooier is het om over te gaan op poolcoördinaten, dan krijgen we dit en hebben we meteen het antwoord.
Ik woon in de UK. Desalniettemin is de nacht wel heerlijk rustig. Ik verdenk Riparius ervan dat het calvinisme zo diep in zijn ziel verankerd zit dat hij voor dag en dauw opstaat en hele lange dagen maakt. .quote:Op woensdag 11 mei 2011 11:14 schreef Siddartha het volgende:
Ik snap het nu trouwens en heb het met de hand nagerekend, heel erg bedankt voor de uitleg.
(Nu ik de tijden van de posts zie: Horen die ongoddelijke tijden bij wiskundigen?)
Nee, want je geeft hierboven zelf aan dat je het verschil bepaalt van de integralen F(1) en F(1/2). Uitrekenen als één dubbelintegraal gaat wel met poolcoördinaten, maar dat was niet de bedoeling van Siddartha.quote:Op woensdag 11 mei 2011 19:40 schreef keesjeislief het volgende:
[..]
Nee, met mijn methode hoef je maar een dubbelintegraal uit te rekenen. .
[..]
Hoe kom je daar nu bij? Je weet als wiskundige toch dat je geen ongefundeerde aannames moet doen?quote:Ik woon in de UK. Desalniettemin is de nacht wel heerlijk rustig. Ik verdenk Riparius ervan dat het calvinisme zo diep in zijn ziel verankerd zit dat hij voor dag en dauw opstaat en hele lange dagen maakt. .
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |