SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ik ben nu wat aan het leren over o.a. modulorekenen, en er staan wat opdrachten bij. Ik kan maar niet uit deze komen:
zoek de gehele getallen waarvoor x2-3y2=1997
Volgens wolfram heeft deze vergelijking geen oplossingen, maar het lukt me niet dit zelf aan te tonen. Het lukt me wel bijvoorbeeld de vergelijking a-3b=1997 op te lossen (wat dan ook niet zo moeilijk is), maar ik snap niet goed hoe je dit moet doen.
Als iemand een tip heeft hoor ik het graag
.
zoek de gehele getallen waarvoor x2-3y2=1997
Volgens wolfram heeft deze vergelijking geen oplossingen, maar het lukt me niet dit zelf aan te tonen. Het lukt me wel bijvoorbeeld de vergelijking a-3b=1997 op te lossen (wat dan ook niet zo moeilijk is), maar ik snap niet goed hoe je dit moet doen.
Als iemand een tip heeft hoor ik het graag
.
Finally, someone let me out of my cage
Het merkwaardig product dat je in je bepaling van de afgeleide van f(x) = x2 kunt gebruiken is:quote:Op dinsdag 12 april 2011 01:11 schreef Pipo1234 het volgende:
[..]
Eigenlijk niet.Ik mis nogal wat algebraïsche kennis heb ik gemerkt. Ben er nu naar een het kijken. Erg verhelderend allemaal.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Je kunt de juistheid van deze identiteit natuurlijk aantonen door de haakjes in het linkerlid weg te werken, maar het is meetkundig ook mooi in te zien dat dit klopt.
De oppervlakte van een vierkant met zijde a is a2 en de oppervlakte van een vierkant met zijde b is b2. Stel nu eens dat we een vierkant hebben met zijde (a + b), dan is de oppervlakte (a + b)2. Maar hoe staat deze oppervlakte nu in verband met die van de vierkanten met zijde a en zijde b? Ik heb even een plaatje gepikt uit de Franse Wikipedia:
Laten we aannemen dat het blauwe lijnstuk rechts van het vierkant een lengte a heeft, en het rode lijnstuk een lengte b. Dan is de totale zijde van het vierkant dus (a + b) en de totale oppervlakte van het vierkant dus (a + b)2. Maar je ziet dat de totale oppervlakte van het grote vierkant wordt gevormd door het blauwe vierkant (met oppervlakte a2), het rode vierkant (met oppervlakte b2), maar ook nog door de twee groene rechthoeken. Elk van die groene rechthoeken heeft een lengte a en een breedte b, en dus een oppervlakte ab. En omdat er twee van die rechthoeken zijn, moeten we bij a2 + b2 dus ook nog 2ab optellen om de oppervlakte van het grote vierkant te krijgen. En dat is precies wat het merkwaardig product hierboven zegt!
ok, laten we gewoon eens wat gaan rekenen en kijken hoever we komen:quote:
Ik ben nu wat aan het leren over o.a. modulorekenen, en er staan wat opdrachten bij. Ik kan maar niet uit deze komen:
zoek de gehele getallen waarvoor x2-3y2=1997
Volgens wolfram heeft deze vergelijking geen oplossingen, maar het lukt me niet dit zelf aan te tonen. Het lukt me wel bijvoorbeeld de vergelijking a-3b=1997 op te lossen (wat dan ook niet zo moeilijk is), maar ik snap niet goed hoe je dit moet doen.
Als iemand een tip heeft hoor ik het graag
x2-3y2=1997
3y2=x2-1997
y2=(x2-1997)/3
Nu maken we de observatie dat als dit een oplossing heeft voor x en y gehele getallen, dan moet x2-1997 deelbaar zijn door 3. met andere woorden:
x2 = 1997 mod 3
Aan jou de vraag, waarom heeft dit geen oplossing?
Feitelijk is het dus zo dat X2 = 2X omdat het twee (blauwe) vierkanten vormt? Tenminste om het even eenvoudig te maken voor mezelf, want volgens mij klopt dat niet helemaal.quote:
[..]
... En dat is precies wat het merkwaardig product hierboven zegt!
[ Bericht 3% gewijzigd door Pipo1234 op 12-04-2011 12:34:29 ]
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
x2 is sowieso niet gelijk aan 2x, de afgeleide van x2 is 2x. Dat is ook niet zo omdat het twee blauwe vierkanten vormt (los daarvan, er is maar één blauw vierkant), dat is slechts een tussenstap die je nodig hebt om de limiet op te lossen.quote:
[..]
Feitelijk is het dus zo dat X2 = 2X omdat het twee (blauwe) vierkanten vormt? Tenminste om het even eenvoudig te maken voor mezelf, want volgens mij klopt dat niet helemaal.
Het vierkant laat zien dat je (a+b)2 kunt schrijven als a2+2ab+b2. Als je dat invult in de limiet kom je uit op de oplossing
.Je moet het niet te simpel maken voor jezelf door stappen simpelweg over te slaan, dan klopt het niet meer.
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
quote:
[..]
x2 is sowieso niet gelijk aan 2x, de afgeleide van x2 is 2x. Dat is ook niet zo omdat het twee blauwe vierkanten vormt (los daarvan, er is maar één blauw vierkant), dat is slechts een tussenstap die je nodig hebt om de limiet op te lossen.
Het vierkant laat zien dat je (a+b)2 kunt schrijven als a2+2ab+b2. Als je dat invult in de limiet kom je uit op de oplossing
Je moet het niet te simpel maken voor jezelf door stappen simpelweg over te slaan, dan klopt het niet meer.
Het is de afgeleide natuurlijk. Misschien probeer ik het inderdaad te simpel voor mezelf te maken.
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Die merkwaardige producten is precies wat ik nodig had! Alleen nu heb ik er nog een vraag over. Als ik X3 heb en dan op h3 + 3x2h + 3xh2 uitkom, wat gebeurd er dan met die overtollige 3x van de laatste samenstelling? Als ik h wegstreep houd ik namelijk 3x over... en ik weet dat het antwoord 3x2 moet zijn.
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Ik begrijp niet precies wat je bedoelt? Als ik het uitwerk kom ik uit op(h3 + 3x2h + 3xh2 + x3 - x3)/h. Als je dat uitwerkt komt het gewoon uit hoorquote:
Die merkwaardige producten is precies wat ik nodig had! Alleen nu heb ik er nog een vraag over. Als ik X3 heb en dan op h3 + 3x2h + 3xh2 uitkom, wat gebeurd er dan met die overtollige 3x van de laatste samenstelling? Als ik h wegstreep houd ik namelijk 3x over... en ik weet dat het antwoord 3x2 moet zijn.
. Misschien dat je vergeten bent om in het begin f(x+h) - f(x) te doen?
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Nee die formule heb ik ook. Ik probeer het te gebruiken voor een differentatie van X3. Bij X2 kom ik er door H weg te strepen. Maar bij X3 houd ik op de volgende manier 3X2 en 3X over: h3 + 3x2h + 3xh2 + x3 - x3)/hquote:
[..]
Ik begrijp niet precies wat je bedoelt? Als ik het uitwerk kom ik uit op(h3 + 3x2h + 3xh2 + x3 - x3)/h. Als je dat uitwerkt komt het gewoon uit hoor
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Ah, nu begrijp ik het denk ik:quote:
[..]
ok, laten we gewoon eens wat gaan rekenen en kijken hoever we komen:
x2-3y2=1997
3y2=x2-1997
y2=(x2-1997)/3
Nu maken we de observatie dat als dit een oplossing heeft voor x en y gehele getallen, dan moet x2-1997 deelbaar zijn door 3. met andere woorden:
x2 = 1997 mod 3
Aan jou de vraag, waarom heeft dit geen oplossing?
x2 = 1997 mod 3
x2 = 2 mod 3
De enige manier om in modulo 3 verzameling 2 te krijgen is door 1 met 2 of 2 met 1 te vermenigvuldigen. Voor x2 is er us geen oplossing in gehele getallen.
Dit betekent als ik het goed begrijp ook dat x2 -2 nooit deelbaar is door 3, wat ik best opmerkelijk vind
.Dank voor de hulp
Finally, someone let me out of my cage
Ik denk dat je de limiet van h naar 0 vergeet. Je deelt een keer een h weg, zodat je h2 + 3xh + 3x2 overhoudt. De limiet van h naar 0 nemen zorgt er voor dat alleen de 3x2 overblijft.quote:
[..]
Nee die formule heb ik ook. Ik probeer het te gebruiken voor een differentatie van X3. Bij X2 kom ik er door H weg te strepen. Maar bij X3 houd ik op de volgende manier 3X2 en 3X over: h3 + 3x2h + 3xh2 + x3 - x3)/h
HJ 14-punt-gift.
Lijst met rukmateriaal!
Lijst met rukmateriaal!
Ik snap dat even niet. Betekent dit dat de lim h->0 de 3xh2 wegstreept omdat deze 0 is? Er zit toch 3X in, of is dat 3xh en geen 3x?quote:Op dinsdag 12 april 2011 15:29 schreef freiss het volgende:
[..]
Ik denk dat je de limiet van h naar 0 vergeet. Je deelt een keer een h weg, zodat je h2 + 3xh + 3x2 overhoudt. De limiet van h naar 0 nemen zorgt er voor dat alleen de 3x2 overblijft.
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Even tussendoor, snap je wat er bedoelt wordt met de limiet? Dat is namelijk wel redelijk belangrijk om dit echt te begrijpenquote:
[..]
Ik snap dat even niet. Betekent dit dat de lim h->0 de 3xh2 wegstreept omdat deze 0 is? Er zit toch 3X in, of is dat 3xh en geen 3x?
. Ik zal proberen uit te leggen wat er gebeurt, eerst heb je de limiet van (f(x+h) - f(x) )/h. Daarna schrijf je dit uit, in jouw geval krijg je dan de limiet van (h3 + 3x2h + 3xh2 + x3 - x3)/h. Eerst werk je dit uit, je deelt de h weg uit alle termen, je krijgt nu de limiet van h2 + 3x2 + 3xh. Nu ga je de limiet invullen, als h in deze uitdrukking naar nul gaat zullen alle termen nul worden behalve 3x2, dat is dus de uitkomst van dit probleem. Ik ben er in deze uitleg een beetje van uitgegaan dat je snapt wat de limiet is, als je dat niet snapt moet je dat maar even proberen op te zoeken of te vragen
.
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Differentiëren is geen 'wegstrepen'. Je bepaalt van een functie y = f(x) eerst het differentiequotiënt:quote:Op dinsdag 12 april 2011 15:58 schreef Pipo1234 het volgende:
[..]
Ik snap dat even niet. Betekent dit dat de lim h->0 de 3xh2 wegstreept omdat deze 0 is? Er zit toch 3X in, of is dat 3xh en geen 3x?
Δy/Δx = (f(x+h) - f(x))/((x+h) - x) = (f(x+h) - f(x))/h
Deze verhouding zegt iets over hoeveel de afhankelijke variabele y (i.e. de functiewaarde) verandert in verhouding tot een verandering van de onafhankelijke variabele x. Meetkundig kun je dit opvatten als de gemiddelde steilheid van de curve van f(x) over een klein intervalletje [x, x+h]. Door nu het intervalletje steeds kleiner te maken (en dus de limiet te bepalen als h naar 0 gaat) krijgen we dan de steilheid van de curve van f(x) c.q. de steilheid van de raaklijn aan de curve van f(x) in één bepaald punt. Die steilheid (en dus de afgeleide) is een maat voor de snelheid waarmee de waarde van f(x) op dat punt verandert.
Hebben we f(x) = x3, dan vinden we voor het differentiequotiënt:
(f(x+h) - f(x))/h = ((x+h)3 - x3)/h = (x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 - x3)/h = 3x2 + 3xh + h2
Om nu de afgeleide f'(x) te vinden moet ik de limiet van dit differentiequotiënt bepalen voor h→ 0. Dus krijg ik:
f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h = lim h→0 (3x2 + 3xh + h2) = 3x2
De beide termen 3xh en h2 naderen immers tot 0 als we h naar nul laten gaan, zodat 3x2 resulteert.
quote:
[..]
Ik snap dat even niet. Betekent dit dat de lim h->0 de 3xh2 wegstreept omdat deze 0 is? Er zit toch 3X in, of is dat 3xh en geen 3x?
[img]http://i.minus.com/ibnbBZVlYCvsZI.gif[/img]
Bedankt voor alle antwoorden. Ik denk dat ik al begrijp wat ik fout heb gedaan. Ik moest het namelijk nog daar H delen, alleen had er niet bij stil gestaan dat dit voor het limiet noodzakelijk is.
De volgende benadering heb ik nu:
f(x) = x3
f'(x) = lim(h>0) (x+h)3 - (x)3 / h
f'(x) = lim(h>0) x3 + h3 - x3 / h
f'(x) = lim(h>0) x3 + h3 + 3x2h + 3xh2 - x3 / h (Volgens het merkwaardig product)
f'(x) = lim(h>0) h3 + 3x2h + 3xh2/ h (x3 - x3)
f'(x) = lim(h>0) h2 + 3x2 + 3xh (Gedeeld door h)
f'(x) = 3x2 (Limiet 0 is benaderd)
Mijn boek merkt trouwens op dat dit de beste maar moeilijkste methode is om te differentiëren. Is dat zo? Ik vind het voor uitvoerig, maar kan me wel voorstellen dat dit op een examen een beetje teveel van het goed is.
De volgende benadering heb ik nu:
f(x) = x3
f'(x) = lim(h>0) (x+h)3 - (x)3 / h
f'(x) = lim(h>0) x3 + h3 - x3 / h
f'(x) = lim(h>0) x3 + h3 + 3x2h + 3xh2 - x3 / h (Volgens het merkwaardig product)
f'(x) = lim(h>0) h3 + 3x2h + 3xh2/ h (x3 - x3)
f'(x) = lim(h>0) h2 + 3x2 + 3xh (Gedeeld door h)
f'(x) = 3x2 (Limiet 0 is benaderd)
Mijn boek merkt trouwens op dat dit de beste maar moeilijkste methode is om te differentiëren. Is dat zo? Ik vind het voor uitvoerig, maar kan me wel voorstellen dat dit op een examen een beetje teveel van het goed is.
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
In grote lijnen klopt het zo, alleen nog een paar opmerkingenquote:
Bedankt voor alle antwoorden. Ik denk dat ik al begrijp wat ik fout heb gedaan. Ik moest het namelijk nog daar H delen, alleen had er niet bij stil gestaan dat dit voor het limiet noodzakelijk is.
De volgende benadering heb ik nu:
f(x) = x3
f'(x) = lim(h>0) (x+h)3 - (x)3 / h
f'(x) = lim(h>0) x3 + h3 - x3 / h
f'(x) = lim(h>0) x3 + h3 + 3x2h + 3xh2 - x3 / h (Volgens het merkwaardig product)
f'(x) = lim(h>0) h3 + 3x2h + 3xh2/ h (x3 - x3)
f'(x) = lim(h>0) h2 + 3x2 + 3xh (Gedeeld door h)
f'(x) = 3x2 (Limiet 0 is benaderd)
Mijn boek merkt trouwens op dat dit de beste maar moeilijkste methode is om te differentiëren. Is dat zo? Ik vind het voor uitvoerig, maar kan me wel voorstellen dat dit op een examen een beetje teveel van het goed is.
. Je zou wat meer haakjes mogen gebruiken voor de duidelijkheid, zoals je het nu doet is het voor jou en voor mij duidelijk, maar in een examen moet je ipv (x+h)3 - (x)3 / h toch echt ((x+h)3 - (x)3) / h schrijven. Verder vraag ik me af wat je precies tussen het eerste en tweede punt doet? Je haakjes zijn daar weg, maar je hebt ze nog niet uitgewerkt? Die stap kan je weglaten. Wat je boek zegt klopt, het is de beste manier, maar zoals je zelf al zegt, dit kan je in een examen niet iedere keer doen. Daarom zijn er regels voor het differentiëren, waarschijnlijk staan ze ook wel ergens in je boek in een volgende paragraaf, anders kan je hier even kijken
.
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Ik begrijp wat je bedoeld. Heb het even uitvoerig gedaan zodat het voor mezelf duidelijk is en voor anderen ook. Meer haakjes? Oké. Ik zal het proberen te onthouden. Ben er juist zuinig mee, omdat het er zo chaotisch uit gaat zien. Er staan trouwens regels op de volgende pagina's. Maar ik wil graag de basis beheersen, zodat ik weet waar het vandaan komt.quote:
[..]
In grote lijnen klopt het zo, alleen nog een paar opmerkingen
Wat je boek zegt klopt, het is de beste manier, maar zoals je zelf al zegt, dit kan je in een examen niet iedere keer doen. Daarom zijn er regels voor het differentiëren, waarschijnlijk staan ze ook wel ergens in je boek in een volgende paragraaf, anders kan je hier even kijken
Even nog een vraag hierover...
Hoe komt het dat bij een deling met x (dus 1/x2) een negatieve functie voortvloeit? Ik begrijp dat 1 delen door iets altijd een afname betekent als x hoger dan 1 is in ieder geval, maar welke stap zorgt daar voor. Mijn boek geeft totaal geen uitleg over dit onderwerp...
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Ik zou niet al te zuinig zijn met de haakjes, je kan er beter te veel dan te weinig hebbenquote:
[..]
Ik begrijp wat je bedoeld. Heb het even uitvoerig gedaan zodat het voor mezelf duidelijk is en voor anderen ook. Meer haakjes? Oké. Ik zal het proberen te onthouden. Ben er juist zuinig mee, omdat het er zo chaotisch uit gaat zien. Er staan trouwens regels op de volgende pagina's. Maar ik wil graag de basis beheersen, zodat ik weet waar het vandaan komt.
. Het ziet er misschien niet altijd even mooi uit, maar het is tenminste wel duidelijk. Verder is het heel goed dat je de basis wil beheersen, maar in een examen zal je nooit zo hoeven te differentiëren, dus als je snapt hoe het werkt zou ik verder gaan met die regels .Ik snap niet helemaal wat je bedoelt, wat bedoel je met een negatieve functie?quote:Even nog een vraag hierover...
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Je bedoelt dat de afgeleide negatief is?quote:
[..]
Even nog een vraag hierover...
Precies. f(x) = 1 / x2 wordt f'(x) = - (2 / x3)quote:
[..]
Je bedoelt dat de afgeleide negatief is?
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Je kan het zien als je de grafiek plot, 1/x2 is een dalende functie (als we even alleen naar positieve x kijken), van een dalende functie is de afgeleide negatief. Ik weet niet of je dat bedoelt?quote:
[..]
Precies. f(x) = 1 / x2 wordt f'(x) = - (2 / x3)
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
Teken eens de grafiek van 1/x2.quote:
[..]
Precies. f(x) = 1 / x2 wordt f'(x) = - (2 / x3)
Vertel eens wat er met die grafiek gebeurt als je langs de x-as gaat: neemt de grafiek toe of af, hoe snel gaat die stijging/daling, etc.
Probeer aan de hand van dat verhaal het verloop van de afgeleide te vertellen.
Ik heb je eerdere posts bekeken:
Vertel liever eerst eens wat de afgeleide is?
De afgeleide van 1 / x2 of in het algemeen? Ik heb trouwens een grafiek uitgetekend en zie dat de rico steeds kleiner wordt. Dit klopt ook wanneer het vergeleken wordt met - (1/x3).quote:
[..]
Teken eens de grafiek van 1/x2.
Vertel eens wat er met die grafiek gebeurt als je langs de x-as gaat: neemt de grafiek toe of af, hoe snel gaat die stijging/daling, etc.
Probeer aan de hand van dat verhaal het verloop van de afgeleide te vertellen.
Ik heb je eerdere posts bekeken:
Vertel liever eerst eens wat de afgeleide is?
Op dinsdag 24 mei 2011 07:11 schreef Absurditeit het volgende:
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
Het werkt ook niet echt erotiserend als je de rookworst en saucijzenbroodjes op 45 meter afstand al ruikt, terwijl je langs de plastic laarzen en kledij loopt.
De grafiek van 1/x2, vertel eerst eens wat daarmee gebeurt als je langs de x-as loopt.quote:
[..]
De afgeleide van 1 / x2 of in het algemeen? Ik heb trouwens een grafiek uitgetekend en zie dat de rico steeds kleiner wordt. Dit klopt ook wanneer het vergeleken wordt met - (1/x3).
Daarna vertel je wat er met de afgeleide gebeurt als je langs de x-as loopt.
