[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 13:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Heb je dit vraagstuk nog op kunnen lossen? Ik kom op 1/3 + (√3)/2π, wat neerkomt op ca. 60,9%. Ik vind het alleen geen goed idee de uitwerking te geven, omdat ik zag dat het vraagstuk deel uitmaakt van een Pythagoras Olympiade waarvan de inzendtermijn nog loopt tot 30 juni 2011.

Ben er nog niet aan toegekomen. Het komt idd uit dat boekje.

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 13:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Heb je dit vraagstuk nog op kunnen lossen? Ik kom op 1/3 + (√3)/2π, wat neerkomt op ca. 60,9%. Ik vind het alleen geen goed idee de uitwerking te geven, omdat ik zag dat het vraagstuk deel uitmaakt van een Pythagoras Olympiade waarvan de inzendtermijn nog loopt tot 30 juni 2011.

Leuke vraag, ik kom op hetzelfde antwoord. .

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 16:06 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Leuke vraag, ik kom op hetzelfde antwoord. .

Fijn om te horen, dan vertrouw ik erop dat mijn uitwerking correct is (maar daar was ik toch al van overtuigd).

@Riparius

quote:

Die bewijzen met behulp van rechthoekige driehoeken vind ik niet fraai, omdat ze uitsluitend gelden voor scherpe hoeken α en β, terwijl er in de figuren bovendien vanuit wordt gegaan dat ook α+β een scherpe hoek is. De additietheorema's gelden echter voor willekeurige hoeken (rotaties), zowel positief als negatief. Er is een veel fraaier bewijs mogelijk met vectoren en de eenheidscirkel dat wél geldt voor willekeurige hoeken (rotaties), maar ik vind zo gauw geen webpagina waar dat goed wordt uitgelegd.

Tja, dat is inderdaad een nadeel van dit bewijs.

Je zou mij er plezier mee doen als je hier nog eens het bewijs zou plaatsen, of door een link te geven of door plaatjes in te scannen of met Paint of iets dergelijks zelf een bewijs te tekenen. Als je er eens tijd voor hebt natuurlijk.

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 18:29 schreef Bram_van_Loon het volgende:
@Riparius

[..]

Tja, dat is inderdaad een nadeel van dit bewijs.

Je zou mij er plezier mee doen als je hier nog eens het bewijs zou plaatsen, of door een link te geven of door plaatjes in te scannen of met Paint of iets dergelijks zelf een bewijs te tekenen. Als je er eens tijd voor hebt natuurlijk.

Hier staat een eenvoudig bewijs met vectoren, ik weet niet of dat ook het bewijs is wat Riparius bedoelde (het staat een stukje boven het tweede plaatje). Er is wel nog een ding wat ik niet zo snel zie, waarom is de cosinus van de hoek in dit bewijs gelijk aan cos(y-x)?

Edit: Ik zie het al, ik dacht dat x en y voor de x- en y-coördinaten stonden, maar ze staan gewoon voor de hoeken in dit geval.

De stochastische vector (X,Y) is tweedimensionaal normaal verdeeld met gelijke varianties. Ik wil laten zien dat X+Y en X-Y onafhankelijke stochasten zijn.

Ik had al bedacht dat X+Y en X-Y normaal verdeeld zijn, omdat iedere lineaire combinatie van normaal verdeelde stochasten weer normaal verdeeld is. Sterker nog, X+Y is N(m₁+m₂, s₁²+s₂²) verdeeld en X-Y is N(m₁-m₂, s₁²+s₂²) verdeeld (s_i staat voor de standaard deviatie en m_i voor het gemiddelde).
Ik kan dus de kansdichtheidsfunctie van zowel X+Y als X-Y opschrijven. Hoe kan ik de joint distributie van X+Y, X-Y bepalen? (met als doel te controleren of f_X+Y,X-Y = f_X+Y * f_X-Y om zo te laten zien dat ze onafh zijn). Of is er een betere aanpak?

Dat kan, gegeven de pdf van de vector (X,Y) mbv de jacobiaan, zie http://en.wikipedia.org/w(...)_change_of_variables

Hmm, bedankt. Ik heb het uiteindelijk maar met covariantie gedaan, dat lijkt me toch wat eenvoudiger .

http://en.wikipedia.org/w(...)ot_imply_independent

quote:

Op zondag 8 mei 2011 19:39 schreef GlowMouse het volgende:
http://en.wikipedia.org/w(...)ot_imply_independent

Ik heb gekeken naar de random vector (X+Y,X-Y), welke jointly normally distributed is.

quote:

Suppose two random variables X and Y are jointly normally distributed. That is the same as saying that the random vector (X, Y) has a multivariate normal distribution. It means that the joint probability distribution of X and Y is such that for any two constant (i.e., non-random) scalars a and b, the random variable aX + bY is normally distributed. In that case if X and Y are uncorrelated, i.e., their covariance cov(X, Y) is zero, then they are independent.

Als A en B elk afzonderlijk normaal verdeeld zijn, dan is de vector (A, B) niet automatisch jointly normally distributed, zoals je citaat al aangeeft.

quote:

Op vrijdag 22 april 2011 10:15 schreef -J-D- het volgende:
[ afbeelding ]

Ik vind dit een boeiende vraag, alleen heb ik geen idee hoe ik moet beginnen.
Kan iemand me op weg helpen? Dan kan ik dan zien of ik genoeg intellect heb om het verder op te kunnen lossen

Ik vond sommige andere leuker, bijvoorbeeld:

quote:

Ernst heeft acht emmers: vier van het merk hamé en vier van het merk delta. Hoewel Ernst de emmers niet met het blote oog uit elkaar kan houden, weet hij dat een emmer van hamé in (bovenop) een emmer van delta past, maar niet andersom. Bovendien passen twee emmers van dezelfde soort natuurlijk wel in elkaar.Hoe kan Ernst in zo weinig mogelijk zetten alle emmers identificeren? Een zet bestaat uit het op elkaar zetten van twee emmers (geen stapeltjes); het uit elkaar halen van twee emmers mag zo vaak als je wilt.

Ik heb nu ook het vak datastructuren, wat veel over algoritmes gaat. Daar wordt altijd een algoritme besproken in termen van best-case, average-case en worst-case. In deze vraag wordt gevraagd om het snelste algoritme (want dat is het als het ware) voor een probleem. Ik neem even aan dat hier gevraagd wordt om het algoritme met de beste worst-case performance (oh wat klink ik geleerd ).
Stel dat je een mogelijke oplossing hebt voor dit of een dergelijk probleem. Is er dan een manier om dit te bewijzen, of moet je dit soort vraagstukken puur op intuïtie oplossen?
(Om dezelfde reden als Riparius zijn redenering bij zijn antwoord op de vraag over een muis op een tafel niet postte, post ik mijn antwoord nu niet: de vraag komt uit de Pytagoras olympiade en daarvoor kan men nog tot juni antwoorden opsturen)

quote:

Op zondag 8 mei 2011 22:57 schreef thabit het volgende:
In de wiskunde is de bedoeling uiteraard dat je het bewijst, minibeer.

Doet me denken aan deze post van je, die ik laatst bij het aanmaken van een reeks tegenkwam.

quote:

Op zondag 8 mei 2011 22:51 schreef GlowMouse het volgende:
Als A en B elk afzonderlijk normaal verdeeld zijn, dan is de vector (A, B) niet automatisch jointly normally distributed, zoals je citaat al aangeeft.

In dit geval wel, ga maar na.

Ik begrijp dat men er in het algemeen naar streeft algoritmes te bewijzen, maar dat is toch niet altijd mogelijk? Als het wel mogelijk is, is er een bepaalde manier voor die vaak wordt toegepast?
Of, wat concreter, ik heb een vermoeden voor het probleem dat ik net postte. Kan ik op een makkelijke manier uitvogelen of het inderdaad de snelste manier is?
(voor zover ik weet kan je alleen ontkrachten dat het algoritme het snelst mogelijke is door een sneller algoritme te geven en van beide de performance te berekenen)

Sorry als ik veel vage vragen stel, als ik dingen niet goed begrijp vraag ik er soms maar wat op los

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 18:29 schreef Bram_van_Loon het volgende:
@Riparius

[..]

Je zou mij er plezier mee doen als je hier nog eens het bewijs zou plaatsen, of door een link te geven of door plaatjes in te scannen of met Paint of iets dergelijks zelf een bewijs te tekenen. Als je er eens tijd voor hebt natuurlijk.

Het maken van een mooi plaatje (niet met Paint maar met iets als Cabri) laat ik graag aan anderen over omdat het prepareren van deze post mij al voldoende tijd kost, maar ook zonder plaatje zal het hopelijk duidelijk zijn. Vreemd genoeg kan ik nergens op het web een goede uiteenzetting vinden van het bewijs dat mij voor ogen staat.

Eerst wat inleidende opmerkingen over vectoren en de definitie van de sinus en cosinus aan de hand van de eenheidscirkel.

Kiezen we een punt O in het platte vlak en twee vectoren OA = a en OB = b die geen van beide de nulvector zijn en niet in elkaars verlengde liggen, dan kunnen we elke willekeurige andere vector OP = p in dat platte vlak uitdrukken als een lineaire combinatie van a en b, en wel op een eenduidige manier. Er is dan precies één geordend paar reële getallen (λ;μ) zodanig dat:

(1) p = λ∙a + μ∙b

We noemen de set {a, b} nu een basis voor de vectorruimte bestaande uit alle vectoren in het platte vlak. Het geordende paar (λ;μ) noemen we dan de coördinaten van vector p ten opzichte van de basis {a, b}.

Hebben we al een assenstelsel met cartesische coördinaten, dan vormen de vectoren met lengte één langs de positieve x-as resp. de positieve y-as de vectorbasis voor deze coördinaten. Aangezien deze vectoren een lengte één hebben spreken we van eenheidsvectoren en duiden we deze aan met e_x resp. e_y. De vectorbasis {e_x , e_y} wordt ook wel een orthonormale basis genoemd omdat de beide vectoren niet alleen een lengte één hebben maar tevens loodrecht op elkaar staan. Merk nog op dat de oriëntatie van het paar {e_x, e_y} zodanig is dat de eerste vector e_x bij een rotatie over 90 graden in positieve zin (i.e. tegen de wijzers van de klok in) overgaat in de tweede vector e_y.

Bij een elementaire behandeling worden de sinus en cosinus van een hoek in eerste instantie geïntroduceerd als verhoudingen tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde (hypotenusa) in een rechthoekige driehoek. Aangezien de lengten van overeenkomstige zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen deze verhoudingen uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek. De aldus geïntroduceerde begrippen sinus en cosinus hebben echter uitsluitend betekenis voor scherpe hoeken.

De zogeheten eenheidscirkel (een cirkel met middelpunt in de oorsprong van een cartesisch assenstelsel en met een straal één) maakt het nu mogelijk de begrippen sinus en cosinus uit te breiden naar willekeurige hoeken (rotaties), zowel in positieve zin (tegen de wijzers van de klok in) als in negatieve zin (met de wijzers van de klok mee).

Kiezen we een willekeurig punt P(x_P; y_P) op de eenheidscirkel, maar dan wel in het eerste kwadrant, en laten we vanuit P een loodlijn neer op de x-as, en noemen we het voetpunt van deze loodlijn Q, dan is driehoek OPQ een rechthoekige driehoek met een rechte hoek in hoekpunt Q en een hypotenusa OP.

Noemen we hoek QOP α, dan is de sinus van hoek α gelijk aan de overstaande rechthoekszijde QP gedeeld door de schuine zijde OP, dus:

(2) sin α = sin ∠QOP = QP : OP = y_P : 1 = y_P

En de cosinus van hoek α is gelijk aan de aanliggende rechthoekszijde OQ gedeeld door de schuine zijde OP, dus:

(3) cos α = cos ∠QOP = OQ : OP = x_P : 1 = x_P

We zien nu dat cos α en sin α gelijk zijn aan de coördinaten x_P resp. y_P van het punt P(x_P;y_P). Dit is uiteraard niet verrassend maar een direct gevolg van het feit dat de straal van de gekozen cirkel, en daarmee de lengte van de hypotenusa OP van driehoek OPQ, gelijk is aan één. Maar dit biedt wel een mogelijkheid om cos α en sin α betekenis te geven voor een willekeurige hoek (rotatie) α zowel in positieve als in negatieve zin.

Aangezien ∠QOP = α gaat het punt met coördinaten (1;0) over in punt P(x_P;y_P) bij een rotatie rond de oorprong over een hoek α. We kunnen nu afspreken (definiëren) dat we ook bij een rotatie om de oorsprong van punt (1;0) over een willekeurige hoek α de coördinaten x_P en y_P van het beeldpunt P(x _P;y_P) zullen beschouwen als de cosinus resp. de sinus van α. Anders gezegd, het punt met coördinaten (1;0) gaat bij een rotatie om de oorsprong over een willekeurige hoek α over in het punt met de coördinaten (cos α ; sin α).

Dan nu het bewijs van de additietheorema's. Het punt met coordinaten (1;0) is het eindpunt van de eenheidvector e_x, en dus kunnen we het beeldpunt (cos α ; sin α) van (1;0) bij rotatie over een hoek α opvatten als het eindpunt van een vector e_x' die het beeld is van vector e_x bij een rotatie over een hoek α. Aldus hebben we:

(4) e_x' = cos α∙e_x + sin α∙e_y

Nu gaat bij rotatie om de oorsprong over een (willekeurige) hoek α niet alleen de eenheidsvector e_x over in een beeldvector e_x', maar evenzo gaat de eenheidsvector e_y over in een vector e_y', zodat we kunnen zeggen dat de vectorbasis {e_x, e_y} bij rotatie over een hoek α overgaat in de (eveneens orthonormale) vectorbasis {e_x', e_y'}.

Nu hebben we middels (4) vector e_x' uitgedrukt als een lineaire combinatie van e_x en e_y, maar we kunnen ook e_y' uitdrukken in e_x en e_y. Dit gaat als volgt.

Bij rotatie om de oorsprong over een hoek van 90 graden tegen de wijzers van de klok in (i.e. in positieve zin) gaat vector e_x over in vector e_y en gaat vector e_y over in vector -e_x. Aldus kunnen we zeggen dat de vectorbasis {e_x, e_y} bij rotatie over 90 graden in positieve zin overgaat in de (eveneens orthonormale) vectorbasis {e_y, -e_x}. Kiezen we nu {e_y, -e_x} als basis waarbij de eerste vector e_y van deze basis bij een rotatie over een hoek α overgaat in een beeldvector e_y', dan geldt dus analoog aan (4) en conform de definitie van de cosinus en de sinus:

(5) e_y' = cos α∙e_y + sin α∙(-e_x)

En aangezien sin α∙(-e_x) = -sin α∙e_x kunnen we hiervoor ook schrijven:

(6) e_y' = cos α∙e_y - sin α∙e_x

Roteren we vervolgens vector e_x' over een (willekeurige) hoek β en noemen we het beeld van e_x' bij deze rotatie e_x'', dan kunnen we e_x'' op twee verschillende manieren uitdrukken in e_x en e_y.

Om te beginnen kunnen we bedenken dat e_x' het beeld is van e_x bij rotatie over een hoek α en dat e_x'' weer het beeld is van e_x' bij rotatie over een hoek β. Aldus is e_x'' het beeld van e_x bij rotatie over een hoek α+β, zodat naar analogie van (4) en in overeenstemming met de definitie van cosinus en sinus geldt:

(7) e_x'' = cos(α+β)∙e_x + sin(α+β)∙e_y

We kunnen echter e_x'' ook uitdrukken in de vectorbasis {e_x', e_y'}. Aangezien de eerste vector e_x' van deze basis bij rotatie over een hoek β overgaat in e_x'' geldt naar analogie van (4) en in overeenstemming met de definitie van cosinus en sinus:

(8) e_x'' = cos β∙e_x' + sin β∙e_y'

Maar nu hadden we e_x' en e_y' al uitgedrukt in e_x en e_y. Substitutie van (4) en (6) in (8) levert:

(9) e_x'' = cos β∙(cos α∙e_x + sin α∙e_y) + sin β∙(cos α∙e_y - sin α∙e_x)

Uitwerken van het rechterlid van (9) en hergroeperen van de termen met e_x en e_y geeft:

(10) e_x'' = (cos α∙cos β - sin α∙sin β)∙e_x + (sin α∙cos β + cos α∙sin β)∙e_y

Nu weten we echter dat elke vector, en dus ook e_x'', op precies één manier is uit te drukken als een lineaire combinatie van de basisvectoren {e_x, e_y}. Uit (7) en (10) volgt dus:

(11a) cos(α+β) = cos α∙cos β - sin α∙sin β
(11b) sin(α+β) = sin α∙cos β + cos α∙sin β

QED

Toegift: aangezien (11a) en (11b) gelden voor willekeurige rotaties in zowel positieve als negatieve zin en aangezien α-β = α+(-β) geldt ook:

(11a) cos(α-β) = cos α∙cos(-β) - sin α∙sin(-β)
(11b) sin(α-β) = sin α∙cos(-β) + cos α∙sin(-β)

Een rotatie van het punt (1;0) over een hoek -β is equivalent met een rotatie van het punt (1;0) over een hoek β gevolgd door een spiegeling in de x-as. En aangezien bij spiegeling in de x-as een punt met coördinaten (x_P;y_P) overgaat in een punt met coördinaten (x_P;-y_P) volgt dat geldt:

(12) cos(-β) = cos β en sin(-β) = -sin β

Substitutie van (12) in (11a) en (11b) levert dan:

(13a) cos(α-β) = cos α∙cos β + sin α∙sin β
(13b) sin(α-β) = sin α∙cos β - cos α∙sin β

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-05-2011 14:49:55 ]

quote:

Op zondag 8 mei 2011 23:21 schreef thabit het volgende:

[..]

In het algemeen is het bij algoritmen behoorlijk lastig om aan te tonen dat ze zo snel mogelijk zijn in het slechtste geval. Maar bij dit soort Pythagoraspuzzeltjes mag je ervan uitgaan dat het wel op een vrij eenvoudige manier kan.

Ik neem niet aan dat het de bedoeling is dat je in dat soort puzzels een bewijs geeft? Het is namelijk de enige vraag uit die links waarbij ik echt vastloop als ik een bewijs moet geven. Zie jij wel hoe het zou moeten dan?

quote:

Op maandag 9 mei 2011 00:35 schreef thabit het volgende:

[..]

Ja, bij dit soort puzzels is altijd de bedoeling om een bewijs te geven, tenzij uit de vraagstelling heel duidelijk is dat dat niet hoeft. Als je daadwerkelijk de snelste methode hebt gevonden, dan is het in dit geval zelfs heel makkelijk te bewijzen dat het niet sneller kan.

Jammer, dan ben ik gewoon aan het falen

ik denk dat ik het al wat beter begrijp, bedankt in ieder geval . Nog even kijken of ik een bewijs kan maken, als het lukt zal ik hem morgen wel ff posten.

hallo,

Ik ben bezig met oefenen voor me wiskunde B examens en loop vast op het volgende:
In het correctie voorschrift staat dat je van "f'(x)=2cos x ⋅ (1+ sin x) + 2sin x ⋅cos x" dit "f'(x)=2cos x + 4cos x ⋅sin x" kan maken. Alleen ik weet niet hoe???

heb je de haakjes om (1+sin x) al geprobeerd weg te werken?

Ja, dan krijg ik f'(x)=2cos x * 2cos x * sin x + 2sin x * cos x
En dat kan je ook schrijven als f'(x)=4cos x * sin x + 2sin x * cos x
En nu?