Hij werd geboren als zoon van Jan Donner, destijds minister van Justitie en later president van de Hoge Raad. Jan Hein Donner was een oom van Mr. Piet Hein Donner, Minister van Binnenlandse Zaken en Koninkrijksrelaties. Donner maakte pas op zijn 14e jaar kennis met het schaakspel.
Door een weinig gedisciplineerde levensstijl was het voor Donner altijd moeilijk goede resultaten te continueren. Desondanks heeft hij in zijn schaakcarrière enkele grote toernooi-overwinningen behaald, zoals het Hoogoventoernooi in 1950 (waaraan ook de oud-wereldkampioen Max Euwe meedeed), 1958 (gedeelde eerste met Euwe) en 1963, en het internationale schaaktoernooi Venetië 1967 (voor de toenmalige wereldkampioen Tigran Petrosjan). Daarnaast werd hij drie keer Nederlands kampioen: in 1954 doorbrak hij Euwes jarenlange hegemonie, en ook in 1957 en 1958 was hij overwinnaar. In 1958 werd hem de grootmeestertitel toegekend.
Naast schaker was hij ook schrijver van artikelen in onder andere De Tijd, Elsevier, Het Parool en De Volkskrant. Donner was politiek geëngageerd; in 1966 weigerde hij Nederland te vertegenwoordigen vanwege de manier waarop de provobeweging aangepakt werd (zijn eerste vrouw, Van de Weetering, was een provo). Hij was een fel tegenstander van het zionisme, en bestuurslid van het genootschap Nederland-Cuba. Bij Elseviers Weekblad moest hij vertrekken wegens zijn standpunt met betrekking tot de oorlog in Vietnam: de gouden trofee die hij had gewonnen in Venetië, 1967, wilde hij schenken aan het Medisch Comité Vietnam, opdat die er medicijnen van konden kopen — of desnoods machinegeweren, zo liet hij weten tijdens een televisie-uitzending. Vanaf 1971 was hij medewerker bij Schaakbulletin, een legendarisch maandblad dat verscheen van 1968 tot 1984. Een bloemlezing van deze stukken, voor zover ze over schaken gaan, is samengesteld door Tim Krabbé en Max Pam en is verschenen als De Koning, Schaakstukken.
De laatste jaren van zijn leven genoot hij vooral bekendheid door de stukjes die hij schreef voor NRC Handelsblad. In augustus 1983 kreeg hij een hersenbloeding die het hem zeer moeilijk maakte om te spreken en te typen, wat hem dwong tot een zeer eigen, uiterst beknopte stijl. De stukjes zijn verzameld in vier bundeltjes, Na mijn dood geschreven, Geen patiënten, Slecht nieuws voor iedereen en Als schrijver moet je veel lijden. Voor het eerste werk ontving hij in 1987 de Henriette Roland Holst-prijs. Ook toen hij nog gezond was heeft hij overigens wel geschreven, o.a. De Nederlander en andere korte verhalen. Hij was een groot bewonderaar van de schrijvers J.L. Borges en Harry Mulisch. Met de laatste was hij ook bevriend, en Donner diende als voorbeeld voor de hoofdpersoon Onno Quist in de roman De ontdekking van de hemel van Mulisch. Jan Hein Donner overleed op 61-jarige leeftijd in verpleeghuis 'Vreugdehof' aan een maagbloeding.
Ik noem een Tony van Heemschut,een Loeki Knol,een Brammetje Biesterveld en natuurlijk een Japie Stobbe !